Conteúdo principal
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 11
Lição 21: Distinção entre crescimento linear e exponencial (Álgebra nível 2)- Crescimento linear vs. exponencial: a partir dos dados
- Crescimento linear vs. exponencial: a partir dos dados (exemplo 2)
- Crescimento linear vs. exponencial: a partir dos dados
- Comparação do crescimento de modelos exponenciais e quadráticos
© 2024 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Comparação do crescimento de modelos exponenciais e quadráticos
Neste vídeo, explicamos duas funções que representam a taxa de envio de carros. Uma função é de segundo grau, e a outra é exponencial. No final das contas, qual delas excederá a outra? Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
A companhia Carros Luxuosos envia alguns dos seus novos
carros para o Japão e Vietnã. O número de carros que serão enviados para o Japão nos próximos "t" meses é modelado pela função "j(t) = 2ᵗ". O número de carros que serão enviados
para o Vietnã pelos próximos "t" meses é modelado pela função
"v(t)", que é igual a 2t²". Qual país terá recebido mais carros
da companhia Carros Luxuosos após 5 meses, ou irá receber após 5 meses?
Vamos ver quantos o Japão receberá após 5 meses. "t" está em meses,
então "j(5)" será "2⁵", que é 2 vezes 2 vezes 2 vezes
2 vezes 2. E vejamos: 2 vezes 2... 4... 8... 16... 32. Logo, o Japão receberá
32 carros. E o Vietnã? Bom, então, "v(5)" é igual a
2 vezes "5²", que será 2 vezes 25, que é igual a 50. Baseado nesses dois modelos que indicam quanto cada país receberá após "t" meses, então após 5 meses, o Vietnã receberá mais carros. Então,
a resposta para essa pergunta é Vietnã. O Vietnã receberá
mais carros após 5 meses. Agora, a segunda pergunta: qual país
terá recebido mais carros da companhia Carros Luxuosos após 7 meses, ou terá
recebido mais carros após 7 meses? Mais uma vez, vamos
tentar responder isso. "j(7)" é igual a "2⁷".
Vejamos, "2⁶" seria 32 vezes 2... nós podemos ver isso como
"2⁵" vezes 2 vezes 2. E será igual a 32 vezes 4,
que é 128; e 128, então, é o número de carros que terão
ido para o Japão após 7 meses. E para o Vietnã? "v(7)" é igual a 2 vezes 7, que está
elevado ao quadrado Logo, isso será igual a 2
vezes 49, que é igual a 98 carros. Então, após 7 meses,
o Japão terá recebido mais carros. Então, o Japão terá recebido
mais carros após 7 meses. Isso é interessante. Nós vemos que a função exponencial, repare que nós temos o "t" como expoente. Embora possa começar um pouquinho mais devagar do que essa aqui, que é essencialmente uma função quadrática... a função quadrática é quando
você tem alguma coisa elevada ao quadrado. Isso começa devagar, após 5 meses, você teria enviado menos carros
do que usando esse modelo quadrático bem aqui, mas, depois, isso mais do que alcança, eu começo a ter uma taxa de
crescimento mais e mais rápida, e, após 7 meses, ela já
ultrapassou a função quadrática. Agora, a terceira pergunta: o país que recebeu
mais carros da companhia Carros Luxuosos após 7 meses continuará recebendo mais carros do que o outro
país nos próximos meses? Sim, absolutamente. Uma vez que a função exponencial passa a função quadrática, isso vai mais rápido e continua aumentando mais e mais rapidamente. Você poderia ver isso se nós
quiséssemos comparar após 8 meses. Logo, "j(8)" (isso aqui
é a função exponencial) seria igual a "2⁸", que seria
isso vezes 2, o que nos daria 256 carros. E "v(8)"?
"v(8)" será 2 vezes "8²",
que é 2 vezes 64, que é igual a 128. Agora, repare que nós teríamos enviado duas
vezes mais para o Japão do que para o Vietnã, o que não era o caso aqui em cima. Nós tínhamos enviado mais para o Japão do que para o Vietnã, mas não duas vezes mais. E nós
poderíamos continuar, nós poderíamos... se você quiser nós
poderíamos testar "j(9)". Então, "j(9)" seria "2⁹", que será 256 vezes 2, ou 512 carros, enquanto "v(9)" é igual a 2
vezes "9²", que dá 2 vezes 81, que é igual a 162. Agora, isso é mais
do que o dobro. Na verdade,
mais do que o triplo. Logo, você vê que, uma vez passados
alguns meses iniciais, a função exponencial segue aumentando muito, muito,
muito mais rápido. Nós poderíamos visualizar isso. Na verdade, vamos pegar uma calculadora gráfica para visualizar essas duas funções para ver como isso está acontecendo. Vamos construir o gráfico disso. Primeiramente,
deixe-me construir o gráfico da exponencial. Então, bem, 2
elevado à potência... à potência "x". Eu somente direi à potência
"x", eu direi que "x" é a nossa variável independente. E, agora, vamos
fazer a nossa função quadrática. Ela será "y₂", embora isso seja a
"v(x)". Então, vamos dizer 2 vezes "x" que está elevado ao quadrado. Agora, deixe-me ajustar as variações aqui. Então, veja: "x" começa em "0" e vamos dizer que isso vai até 10. A escala de
"x" poderia ser 1, Agora, vamos ajustar o valor mínimo para "y",
vamos dizer que... vamos começar com "0" em "y". Agora, o "y" máximo vamos colocar 1.000, e para
a escala de "y" podemos colocar 100, então vamos de 100 em 100. E, agora
eu acho que estamos prontos para construir o gráfico; então, vamos fazer isso.
Mais um pouquinho... mais um pouquinho, e já teremos a
função. Essa aqui que você está vendo é a exponencial,
e essa outra aqui é a quadrática. Na verdade, deixe-me
dar um pouquinho de zoom nisso aqui, então, nós poderíamos ver
onde elas se encontram. Na verdade, deixe-me dar um pouquinho mais
de zoom nisso aqui; eu vou utilizar uma caixa, eu vou fazer isso com uma caixa;
então, nós realmente poderíamos ver... nós poderíamos ver onde elas se encontram,
ou, pelo menos, tentar ver. Eu vou iniciar aqui. Eu vou iniciar aqui, então,
eu vou arrumar a minha caixa. Então, vamos lá. É estranho utilizar
uma calculadora no computador, mas você vê... mas, com certeza, você vê,
mesmo que seja pelo que nós já traçamos, que a função exponencial
realmente começa a inclinar para cima, e de forma muito agressiva, enquanto que a função quadrática está indo para cima, mas de forma bem leve. Bem, isso está crescendo num ritmo decente ainda, mas não tão
rápido quanto a exponencial, e a diferença se torna maior, maior e
maior nitidamente quando o tempo aumenta. Bom, deixa eu fazer isso
aqui corretamente. Agora, vamos plotar esse
gráfico; e, agora, vamos ver. Essa aqui é a
função exponencial, né? Então, essa que você está
vendo agora é a função exponencial, e essa que está aparecendo
agora é a função quadrática. Logo, você vê... com certeza, você vê que, logo aqui no começo,
a função quadrática tem resultados maiores e você pode ver isso bem aqui. Após 5 meses nós enviamos mais carros para o
Vietnã, mas depois a exponencial toma a frente e continua mantendo um ritmo
muito rápido de crescimento. Espero que vocês tenham
gostado e até um próximo vídeo.