Seção cônica a partir de uma equação geral: elipse

RKA13MC Tem uma coisa que frequentemente é pedida nas aulas de álgebra: para que identifique equações de sessões cônicas e marque em um gráfico, se possível. E a equação que é dada não estará na forma reduzida. Porque, se estivesse, seria fácil fazer a correlação com o que mostrei em alguns dos vídeos anteriores. Vamos tentar resolver esse problema e ver se conseguimos descobrir de qual cônica é essa equação. 9x² + 4y² + 54x - 8y + 49 é igual a 0. Mais uma vez, aqueles que sabem equações de cônicas, sabem que ela não está na forma reduzida. Uma rápida pista para saber de qual cônica é essa equação, é olhar para os termos x² e y², se houver. Se houver apenas um termo x² e apenas um y, e ele não estiver elevada ao quadrado, provavelmente, estão lidando com uma parábola. Vamos falar mais sobre isso depois. Ou, se for o contrário: se houver apenas um termo x e um termo y², provavelmente é uma parábola também. Mas, pressupondo que estamos lidando com uma circunferência, uma elipse ou uma hipérbole, teremos um termo x² e um termo y². Se os dois tiverem o mesmo número na frente deles, essa é uma boa pista de que estaremos lidando com uma circunferência. Se os dois tiverem números diferentes, mas os dois forem positivos, é uma boa pista de que provavelmente estamos lidando com uma elipse. Se um deles tiver um número negativo na frente e outro tiver um número positivo, nos diz que provavelmente estaremos lidando com uma hipérbole. Quero dizer que é possível que isso ajude a identificar as cônicas muito rápido, mas não a traçar em um gráfico, ou a colocar na forma reduzida. E a chave para colocar na forma reduzida, é realmente completar o quadrado. Aconselho a assistir de novo ao vídeo sobre completar quadrados, porque é o que faremos para colocar na forma reduzida. A primeira coisa que eu quero fazer é ompletar o quadrado, e o que terão que fazer para x e para y é agrupar os termos x e y. Vamos ver! Os termos x são: 9x² + 54x Vamos fazer os termos y em magenta. Temos, então, + 4y² - 8y, e aí temos... (vou usar uma cor diferente) + 49 é igual a 0. E assim está bem claro que pode fatorar um 9 desses dois números, e pode fatorar um 4 desses dois. Vamos fazer isso, porque vai nos ajudar a completar o quadrado. Então é.. igual a: 9 vezes (x² + 6x), 9 vezes 6 é 54. Vou somar alguma coisa, mas vou deixar um espaço por enquanto. + 4 vezes (y² - 2y) Provavelmente vou somar algo aqui também, então vou deixar um espaço por enquanto. mais 49 é igual a 0. O que vamos somar aqui? Vamos completar o quadrado. Queremos somar um número aqui, de modo que toda essa expressão com três termos se torne um quadrado perfeito. Do mesmo modo, iremos somar algum número aqui, de forma que essa expressão numérica com três termos se torne um quadrado perfeito. E, obviamente, independentemente do que somar a esse lado, vamos ter que multiplicar por 9. Porque, na verdade, estamos adicionando 9 vezes isso. E adicionar isto a esse lado, independentemente, do que adicionar, teremos que multiplicar por 4 e adicionar a esse lado. Se eu colocar um 1 aqui, na verdade, é como se tivesse um 4, porque "1 vezes 4" é 4. E se tivesse um 1 aqui, é "1 vezes 9". Então, 9 aqui. Quando completamos o quadrado, pegamos metade desse coeficiente. Esse coeficiente é 6, pegamos metade que é 3, e elevamos ao quadrado e obtemos 9. Lembre-se de que isso é uma equação, então o que fazemos de um lado, temos que fazer do outro. Se somar um 9 aqui, estamos, na verdade, somando "9 vezes 9" ao lado esquerdo da equação. Daí tem que adicionar 81 ao lado direito, para que a equação seja verdadeira. E podem ver isso se voltar para cima, que é a mesma coisa, apenas para esclarecer que é como se tivesse adicionado 81 aqui. É claro que teria que adicionar 81 aqui em cima. E vamos passar agora para os termos y. Pegamos metade desse coeficiente, que é -2. Metade dele é -1, elevando ao quadrado, obtemos +1. "1 vezes 4", na verdade, estamos adicionando 4 ao lado esquerdo da equação. Só para que entendam que eu fiz: isso é equivalente a se eu tivesse apenas adicionado um 4 e depois tivesse fatorado esse 4. O que tem agora? Essa expressão é: 9 vezes o quê? Poderia fatorar, mas fizemos de propósito, é: (x + 3²) + 4 vezes (y - 1²) Talvez seja bom rever a fatoração de polinômios, ou como completar o quadrado se achar essa etapa um pouco confusa. Depois tem: + 49 é igual a "0 + 81 + 4" é igual a 85. Tá, agora tem: 9 vezes (x + 3)² + 4 vezes (y - 1)² e vamos agora subtrair 49 dos dois lados. Isto é igual a... Vamos ver, se eu subtrair 50 de 85, obtenho, 35 e, assim, se subtrair 49 tenho 36. Estamos chegando perto da forma reduzida de alguma coisa. Mas, lembre-se de que em todas as formas reduzidas que fizemos, exceto para a circunferência, havia um y. E a gente sabe que não é uma circunferência, porque tem esses coeficientes diferentes na frente desses termos. Então, para ter um 1 no lado direito, vamos dividir tudo por 36. Se dividir tudo por 36, esse termo fica: (x + 3)² e "9 sobre 36" é igual a "1 sobre 4". Depois tem: "+ (y - 1)²" "4 sobre 36" é igual a "1 sobre 9". E tudo isso é igual a 1. Pronto, terminamos. Tem a equação na forma reduzida, e podem ver que a nossa intuição no início do problema estava correta: é realmente uma elipse. A gente pode traçar um gráfico agora. Antes de mais nada, um bom lugar para começar é: onde estará o centro desta elipse? Está em: x é igual a -3. E que valor de x torna todo esse termo 0? Ele será x é igual -3 e y será igual a 1. Que valor de y torna esse termo 0? y igual a 1. Esse é o nosso centro. Vamos então traçar num gráfico e, depois, podemos desenhar a elipse. Ela estará no quadrante negativo. Aqui nosso eixo x e nosso eixo y. O centro da nossa elipse está em: (-3, 1). Este é o centro. Depois, qual é o raio na direção x? Basta pegar a raiz quadrada. Então ele é 2. Na direção x, movemos 2 para a direita e movemos 2 para a esquerda. E na direção y, o que fazemos? A gente sobe 3 e desce 3, a raiz quadrada disso. Lembre-se que você tem que tirar a raiz quadrada desses dois números. Na verdade, o eixo vertical é o maior raio, ou o semieixo maior. É o 3, porque é o mais comprido. E o 2 é o raio menor, porque ele é o mais curto. Agora estamos prontos para desenhar a elipse. Vou desenhá-la em marrom. Vamos ver se eu consigo fazer direitinho. A minha mão está tremendo. Muito bem, ela terá este formato. E pronto, terminamos. A gente pega essa coisa bem complicada, e tudo o que devemos fazer é manipular algebricamente. Simplesmente completamos os quadrados com os termos x e y, e depois dividimos os dois lados por esse número e obtivemos a equação na forma reduzida. E aí dissemos: "Ah, é uma elipse!". Tem esses dois termos, os dois são positivos e estamos adicionando, não estamos subtraindo, mas eles têm coeficientes diferentes abaixo deles. Estamos prontos para desenhar a elipse e vimos que o centro estava em (-3,1), e desenhamos o raio menor, ou o eixo maior e o eixo menor. Até o próximo vídeo!