Potências de números complexos

RKA4JL – Olá, pessoal! Prontos para mais um vídeo? Eu tenho aqui o número complexo cosseno de (2/3 de π) mais 𝓲 seno de (2/3 de π) e eu estou elevando este número à 20ª potência. Para tentar descobrir como fazer isso, eu vou colocar este número em verde, o número verde no plano complexo. Depois, elevá-lo à 20ª potência, plotar também este número e ver o que isso significa para a gente. Eu desafio você a tentar resolver este problema antes de mim. Dá uma pausa no vídeo e tenta resolver. Como já tinha dito para você, primeiro vou trabalhar neste número verde aqui. Este número verde claramente está na forma trigonométrica, na forma polar, e o argumento dele é 2π sobre 3, ou 2/3 de π. Já o módulo dele é 1. Se você não estiver enxergando, é só lembrar que isso aqui é 1 vez cosseno de (2/3 de π) mais 𝓲 seno de 2π sobre 3 também. Olhe só: o módulo é 1. 1 é que está multiplicando este cara se colocarmos aqui puramente a sua forma trigonométrica ou forma polar. Se a gente sabe o argumento e o módulo, vamos plotá-lo aqui que não vai ter problema nenhum. Vamos ver... Nosso plano complexo está dividido em um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, onze, doze. Então cada pedacinho deste aqui, cada pedacinho deste é π sobre 12, afinal, meia-volta é π radianos. 2π sobre 3, se a gente for colocar com um denominador 12, a gente tem que multiplicar por 4 embaixo e em cima, não é verdade? Se aqui embaixo fica 12 é porque eu multipliquei por 4. Para não mudar essa fração, então aqui é 8π. Portanto um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, 8π aqui. Como a magnitude é 1, aqui está o nosso número complexo verde. Recapitulando: 8π sobre 12, cada pedacinho desse é π sobre 12. Então eu vim oito para cá e módulo 1, que é uma distância. Agora que eu já coloquei o meu número complexo verde aqui, eu vou elevá-lo à 20ª potência. Deixe-me dar uma limpadinha aqui na minha lousa. Ok, está limpa. Para trabalhar com potência, é bem melhor se a gente colocar na forma exponencial usando aquela fórmula de Euler, lembra? "e" elevado a (θ vezes 𝓲 ) é igual a cosθ mais 𝓲 senθ. Portanto, seguindo a fórmula de Euler, este número complexo aqui é "e" elevado a ((2π sobre 3) vezes 𝓲 ) e claro que eu vou também elevá-lo à 20ª potência, igual fiz aqui. Veja como escrever desse jeito simplificou muito esta continha. Afinal, imagina se a gente fosse pegar e elevar este número à 20ª potência? Multiplicá-lo por ele mesmo de novo, de novo, de novo, por 20 vezes ia dar uma coisa muito cabeluda, uma coisa meio complicada ou até mesmo a gente usasse o binômio de Newton. Mas aqui é só aplicar a propriedade de potência. Isso vai ser igual a "e" elevado a... Agora basta multiplicar esta potência por essa. Então vai ficar 20 vezes (2π sobre 3) 𝓲, o que é igual a "e" elevado a ((40π sobre 3) vezes 𝓲). Poxa, mas esse ângulo aqui é um ângulo bem grande, então vamos tentar escrevê-lo de uma forma mais sucinta, afinal, 40π sobre 3 é a mesma coisa que, fazendo esta divisão, 13 inteiros e ⅓ de π, não é verdade? Poxa, mas 13 inteiros de π? A gente sabe que cada 2π é uma volta completa na circunferência. π é meia-volta, 2π é uma volta, então, quando eu tenho 13π, eu tenho, na verdade, seis voltas, que dá 12π, seis voltas e meia. Seis voltas e meia mais ⅓ de meia-volta. Então para escrever isso como um ângulo mais sucinto, um ângulo entre zero e 2π, eu vou tirar o maior múltiplo possível de 2π que eu conseguir, ou seja, vou tirar o maior número de voltas que eu conseguir, afinal deu mais de seis voltas aqui, não é? O maior múltiplo possível de 2π que eu consigo tirar é 12π, porque o próximo seria 14, e com 14 eu já tiro do que eu deveria. Então se daqui eu tiro 12π, vai me sobrar 1⅓ de π, não é verdade? E 1 inteiro e ⅓ de π, se eu tirar essa fração mista, é a mesma coisa para mim que 4/3 π. Então este número é igual a "e" elevado a ((4/3 de π) vezes 𝓲), que é um ângulo muito mais fácil de descrever, não é? Vamos plotar este valor, lembrando que cada pedacinho desse é π sobre 12. Então para ficar mais fácil de a gente pensar, vamos deixar este número com um denominador 12, que é multiplicar por 4 embaixo e em cima, ou seja, 16π sobre 12. Se meia-volta vai ter 12π, falta eu completar aqui os 16. Então 13, 14, 15, 16. Como o módulo é 1, então aqui está o nosso número, não é verdade? Resumindo: pegamos este número, escrevemos dessa forma, que é este número aqui, elevamos à 20ª potência, que me deu este carinha aqui, e plotamos bem aqui. Digamos que eu queira elevar, por exemplo, à 21ª potência. O que será que vai acontecer? Significa que vou somar 2π sobre 3 neste ângulo. 2π sobre 3 é a mesma coisa que 8π sobre12, então ele virá mais oito espaços para cá. Portanto, um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito. Vem para cá se eu elevar à 21ª potência. E por que será que isso faz sentido? Veja que nosso número elevado à primeira potência está bem aqui. Se eu elevá-lo à segunda potência significa que eu vou somar com 1 vez 2/3π, ou 8/12π (oito doze avos), que vai nos levar bem aqui. Se eu elevar à terceira potência, 1 vez 8/3π, vem para cá. Quarta potência, 5ª, 6ª, 7ª, 8ª, 9ª, 10ª, 11ª, 12ª, 13ª, 14ª, 15ª, 16ª, 17ª, 18ª, 19ª e 20ª. Aqui é a vigésima, que foi a que a gente concluiu. Esta aí a nossa justificativa. OK, pessoal, espero que tenham gostado e até o próximo vídeo!