Introdução aos conjugados de números complexos

RKA4JL – Olá, pessoal! Prontos para mais um vídeo? Neste vídeo, eu quero esclarecer uma coisinha para vocês e já aproveitar para colocar mais uma ferramenta no nosso arsenal de números complexos. No primeiro vídeo, eu chamei um número complexo de "z", que é igual a (a mais b𝓲 ). E ao falar do meu número complexo, eu falei que aqui eu tinha minha parte real e aqui a gente tem, claramente, um número imaginário. Vou escrever aqui, "número imaginário". Mas pela força do hábito, pelo costume e sem muito prejuízo, eu sempre chamo isso de parte imaginária. Porém, se a gente for encarar isso de maneira formal, a parte real seria a imagem da função Re do meu z, Re(z). A parte real do “z” é, de fato, "a". A parte imaginária é a imagem dessa função aqui e a parte imaginária, então, não vai ser (b vezes 𝓲). Vai ser, no fundo, apenas um múltiplo do 𝓲. A parte imaginária é só "b". Mas por hábito, até porque é mais fácil para minha cabeça pensar assim, eu sempre falo, por exemplo, se fosse 3 mais 2𝓲, eu chamaria 2𝓲 de parte imaginária. Então fique com isso na cabeça: parte imaginária, formalmente falando, é o multiplicador do 𝓲. Eu acho que o nome "parte imaginária" para o "b" é um nome meio furado porque isso não é o número imaginário. O número imaginário é (b vezes 𝓲). O resultado da função aqui, a parte imaginária, é um número real. O meu "b" é o número real. Mas não fui eu quem formalizou. A formalização é essa. Vamos para a parte onde a gente aprende uma nova ferramenta para nosso arsenal, certo? E o carinha que a gente vai conhecer agora é chamado de conjugado de um número complexo. Esse é meu número complexo "z", (a mais b𝓲). O que vou chamar de conjugado, vou pegar o z, colocar um tracinho em cima e isso vai significar que eu estou falando do conjugado. Em alguns livros, ao invés do tracinho em cima, se escreve z* (lê-se “z asterisco” ou “z estrela", como alguns gostam de falar). E será para a gente (a menos b𝓲). Vamos ver como é que fica esse negócio no plano complexo? Vamos desenhar aqui, primeiro, o meu eixo dos reais. Agora, o eixo da parte imaginária. Vou colocar aqui o imaginário e aqui a parte real. Digamos que aqui está o meu "z". "z" está representado por esse vetor, aqui onde está projetado na parte real é "a", e aqui no eixo dos imaginários a gente projeta "b". (a mais b𝓲). (a menos b𝓲), reparem que terá a mesma parte real, mas na parte imaginária vai ser -b. É esse mesmo tamanho, só que aqui na parte debaixo. Então aqui é -b e aqui é meu “z barra", ou conjugado de "z". Vocês repararam que o conjugado de "z", na verdade, é a reflexão, em relação ao eixo x, do meu "z"? É como se aqui tivesse um espelho. Aqui você tem o "z" e aqui embaixo o reflexo desse "z". Vamos fazer a soma? Pelo menos a soma de uma forma visual aqui desses dois vetores que representam? Lembra como soma um vetor? Eu pego esse aqui e translado para cá, de forma que o traseirinho deste fique na cabecinha desse. Então vamos lá. Trago o vetor que representa meu "z barra" aqui e desenho aqui, formando um paralelogramo. Então esse pontinho aqui vai representar a soma de "z" com "z conjugado". Vou traçar do traseirinho do primeiro até a pontinha do outro: vai ser o meu vetor soma. Então este é meu vetor soma de "z" mais "z barra", que claramente vai ser 2 vezes "a". A gente pode fazer isso também de forma algébrica para ficar mais claro. "z" é igual (a mais b𝓲) mais o conjugado de "z", então somar com o conjugado é somar com (a menos b𝓲). Isso aqui dá zero. Então sobrou "a" mais "a" que é igual a 2a. Só para escrever de uma maneira diferente, só porque a gente pode, eu posso falar que se eu somar o "z" com o conjugado dele vai ser sempre igual a duas vezes a parte real de "z", não é verdade? Inclusive, posso falar que é duas vezes a parte real do conjugado de "z", porque tanto o conjugado quanto "z" têm a mesma parte real. Mas vou deixar como "z" apenas. Dito isso, vamos dar uma utilidade prática para o nosso conjugado, que tal? Digamos que eu tenha aqui o número complexo (1 mais 2𝓲) e eu estou o dividindo por (4 menos 5𝓲). Digamos que eu não gosto de ter um "𝓲" no denominador, ou digamos que eu queira representar esse número como um número complexo só em vez de dois números complexos, ou eu queira saber uma maneira de tentar simplificar essa expressão. Um dos modos de fazer isso é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do debaixo, pelo conjugado do denominador. Veja só: vezes (4 mais 5𝓲) e aqui dividido por (4 mais 5𝓲). Veja que, essencialmente, usar o conjugado é trocar o sinal da parte imaginária, não é? Reparem que, se eu multiplicar em cima e embaixo pelo mesmo número, na verdade eu estarei multiplicando por 1. Afinal, se eu cortar aqui dá 1. Eu não estou alterando o valor do meu número. Então qual vai ser a vantagem? A vantagem é que sempre que eu pego um número e multiplico pelo conjugado, o resultado vai ser um número real, um número sem parte imaginária. Então vamos fazer esta continha para ver como é que fica. Isso aqui vai ser igual... Deixe-me arrumar um pouquinho de espaço para a gente. Lembre-se que quando a gente fizer esse produto é isso vezes isso e aqui embaixo também. Então vamos lá. 1 vez 4 e 1 vez 5𝓲 vai ficar 4 mais 5𝓲. Multiplicar por 1 não muda muita coisa. Agora eu vou fazer 2𝓲 vezes esses caras. 2𝓲 vezes 4 vai ser 8𝓲. 2𝓲 vezes 5𝓲 vai ser 10 vezes 𝓲². O 𝓲 ² vale -1, então vai ficar -10. Vamos fazer, então, aqui a parte debaixo. Então dividido... Olhe só, pessoal: isso é uma diferença de quadrados já fatorada. Quando eu pego (a menos b) vezes (a mais b), o resultado é (a² menos b²), lembra? Então é o que eu vou fazer aqui. Aqui vai ser o primeiro ao quadrado menos o segundo ao quadrado. Continuando nossa continha, no numerador vamos somar as partes reais. 4 somado com -10 dá -6. Aqui onde eu tenho números imaginários: 5𝓲 mais 8𝓲, então mais 13𝓲. Dividido... E olhe só, no denominador vai ficar assim: Esse número aqui é 16 e 5𝓲² vai ficar 5², 25 e 𝓲² é -1, ou seja, -25 é esse valor aqui. Porém eu tenho aqui um sinal de menos. “menos” com “menos” dá “mais”, o que eu tenho, na verdade, é 16 mais 25. E 16 mais 25 vai dar 41. Portanto, o que eu tenho aqui é -6/41 na parte real somado com 13/41 multiplicando por 𝓲. Alcançamos, então, nosso objetivo. Só para resumir para você. A grande utilidade do nosso conjugado é a seguinte: se eu pegar um número complexo "z" e multiplicar pelo conjugado dele, o resultado vai ser um número real. Só um "parênteses" aqui: se eu fizer conjugado do conjugado dá o próprio número. "z" vezes seu conjugado vai ser um número real, veja só: z é (a mais b𝓲), que eu vou multiplicar por (a menos b𝓲). Como isso é uma diferença de quadrados, o resultado é a² menos (b𝓲)². Ao elevar "b𝓲" ao quadrado, fica b² vezes -1, portanto esse cara aqui é (a² mais b²), que é um número real. E por curiosidade, a gente ainda pode falar que isso aqui, na verdade, é o quadrado do módulo do meu número complexo "z", ou então o quadrado da magnitude do meu número complexo "z". OK, pessoal. Espero que vocês tenham visto a utilidade do conjugado. Até o próximo vídeo!