Introdução a equações e gráficos de valores absolutos

RKA - Vamos fazer algumas equações que lidam com módulos. E também uma pequena revisão, quando tira o módulo de um número. Digamos que eu pegue o módulo de "-1". O que você está realmente fazendo é dizer qual a distância desse número em relação a "0". E, no caso de "-1", se traçarmos uma reta numérica aqui (essa é uma reta numérica muito mal traçada)... se traçarmos uma reta numérica, esse é o "0", você tem o "-1" aqui. Bom, é 1 distante de "0". Assim, o módulo de "-1" é "1". E o módulo de 1 também é 1 de distância do "0". Também é igual a 1. Então, de alguma forma, o módulo é a distância a partir de "0". Mas, outra forma, que eu acho mais simples de pensar nisso, sempre resulta na versão positiva do número. O módulo de "-7.346" é igual a 7.346. Com isso em mente, vamos tentar resolver algumas equações com módulos. Digamos que tenho a equação... o módulo de "x - 5" é igual a 10 ("| x - 5 | = 10"). E uma maneira que pode interpretar isso, e quero que pense sobre isso, é dizer que a distância entre "x" e 5 é igual a 10. Quantos números 10 está distante de 5? E já pode pensar na solução para essa equação. Mas vou mostrar como resolver de forma sistemática. Agora, isso vai ser verdade em duas situações: ou "x - 5" é igual a "+10" ("x - 5" pode valer 10; depois, quando tira seu módulo, vai obter "+10"), ou, ainda, "x - 5" pode ser igual a "-10". Se "x - 5" é igual a "-10", quando tira o módulo, obtém 10 de novo. Então, "x - 5" pode também ser igual a "-10". Os dois iriam satisfazer essa equação. Agora, para resolver, adicione 5 aos dois lados da equação. Você tem que "x" é igual a 15. Para resolver, adicione 5 aos dois lados da equação, "x = -5". Portanto, a nossa solução tem dois "x" que satisfazem essa equação. "x" pode ser "15" (15 menos 5 é 10). Pegue o módulo, você vai obter "10". Ou "x" poderia ser "-5". "-5" é "-10". Pegue o módulo. Você obtém 10. E, note, os dois números são exatamente 10 distantes do número 5. Vamos fazer mais uma dessas (vamos fazer mais uma). Digamos que temos o módulo de "x + 2" é igual a 6. E o que isso nos diz? Diz que "x + 2" (que o que temos dentro do sinal do módulo) é igual a 6. Ou, que o que temos dentro do sinal do módulo, o "x + 2", também pode ser "-6". Se a equação toda for avaliada em "-6", você pega o módulo e terá 6. Ou "x + 2" pode ser igual a "-6". E, se subtrair 2 dos dois lados da equação, tem que "x" pode ser igual a "4". Se subtrair 2 dos dois lados dessa equação, tem que "x" pode ser igual a "-8". Essas são as duas soluções para a equação. E, só para ter em mente esse módulo, pode vê-lo como uma distância. Poderia reescrever esse problema tendo que o módulo de "x - 2" é igual a 6. E, assim, isso está me perguntando: quantos "x" estão exatamente 6 distantes de "-2"? Lembre-se: aqui, dissemos "quanto 10 está distante de "+5"?" Seja qual for o número que está subtraindo de "+5", os dois estão 10 distantes de "+5": o 15 e o "-5". Está pedindo aqui: quanto está exatamente 6 distante de "-2"? Vai ser "4" ou "-8". Você poderia tentar esses números. Vamos tentar mais um (e vamos fazer em roxo). Digamos que temos o módulo de "4x"... (vou mudar um pouco esse problema)... "4x - 1". O módulo de "4x - 1" é igual a... (na verdade, eu vou mantê-lo)... é igual a 19. Assim, como com os últimos problemas, "4x - 1" poderia ser igual a 19, ou "4x - 1" poderia ser igual a "-19"; porque, quando você tirar o módulo, vai obter 19 de novo. Ou "4x - 1" poderia ser igual a "-19". Você resolve essas duas equações. Adiciona 1 aos dois lados da equação. Poderemos até fazer simultaneamente. Adicione 1 aos dois lados dessa, tem que "4x = 20". Adicione 1 aos dois lados da equação, tem que "4x = -18". Divida os dois lados por 4, tem que "x" é igual a 5. Divida os dois lados por 4, tem que "x" é igual a "-18/4", que, simplificando por 2, é igual a "-9/2". Então, os dois... esses valores de "x" satisfazem a equação. Tenta! "-9/2" vezes 4; isso vai se tornar um "-18". "-18" menos 1 é "-19". Pegue o módulo, você obtém "19". Você coloca 5 aqui. Quatro vezes 5 é 20, menos 1 é igual a "19". Então, pega o módulo; mais uma vez, vai ter "19". Vamos tentar fazer o gráfico de uma delas, só por diversão. Digamos que eu tenha: "y = | x + 3 |" Essa é uma função ou um gráfico. Uma função com módulo. Vamos pensar em dois cenários. Há um cenário onde, dentro do módulo, tem algo positivo. Você tem um cenário onde "x + 3" (vou escrever isso aqui), "x + 3" é maior que "0". E, aí, você tem um cenário onde "x + 3" é menor que "0". Quando "x + 3" é maior que "0", esse gráfico, ou essa reta, ou... (acho que não podemos chamar de reta)... essa função é a mesma coisa que "y = x + 3". Se isso aqui é maior que "0", então o sinal do módulo é irrelevante. Essa coisa é a mesma coisa que "y = x + 3". Mas quando "x + 3" é maior que zero? Bom, se você subtrair 3 dos dois lados, tem "x" é maior que "-3". Então, quando "x" é maior que "-3", esse gráfico vai ter "y = x + 3". Agora, quando "x + 3" é menor que "0" (quando a situação em que este, o interior do nosso sinal de módulo, é negativo), nessa situação, essa equação será "y" é igual ao oposto da soma de "x + 3". Como eu posso dizer isso? Veja, se esse for um número negativo: se "x + 3" for um número negativo (é o que estamos presumindo aqui)... se for um número negativo, quando tirar o módulo de um número negativo, vai torná-lo positivo. É como multiplicar por "-1". Se souber que está pegando o módulo de um número negativo, é como multiplicar por "-1", porque vai torná-lo positivo. E essa será a situação: "x + 3" é menor que "0". Se subtrair 3 dos dois lados quando "x" for inferior a "-3". Quando "x" for menor do que "-3", o gráfico será parecido com este. Quando "x" for maior do que "-3", o gráfico será parecido com este. Vamos ver como seria o gráfico inteiro. Deixa eu desenhar os eixos. Esse é meu eixo "x"; esse é meu eixo "y". Vamos multiplicar isso. Só assim, temos na forma "mx + b". Isso é igual a "-x - 3". Então, vamos descobrir como seria esse gráfico de uma forma geral. "- x - 3", a intersecção "y" é "-3". Então, um, dois, três. E "- x" significa que a inclinação é para baixo. Tenho uma inclinação de uma unidade. Ficaria assim. A intersecção "x" seria "x" é igual a... se diz que "y" é igual a "0", isso aconteceria quando "x" fosse igual a "-3". Então, vai atravessar essa reta nesse ponto aqui. E o gráfico, se não tivéssemos essa restrição aqui, seria mais ou menos assim. Isto é, se não fosse restrita a um determinado intervalo do eixo "x". Agora, esse gráfico. O que parece? Vamos ver. Tem sua intersecção "y" em "+3". Assim. E onde está sua intersecção "x"? Quando "y" é igual a "0", "x" é "-3". Também atravessa esse ponto aqui e tem uma inclinação de 1. Logo, seria algo assim. É assim que seria o gráfico. Agora, o que descobrimos é que essa função de módulo, ela parece que... (este gráfico roxo) quando "x" for menor que "-3". Assim, quando "x" for menor que -3" (ou seja, "x" é igual a "-3" aqui)... quando "x" for menor que "-3", parece com esse gráfico roxo. Bem aqui, quando "x" for menor que "-3". Mas, quando "x" é maior "-3", parece com o gráfico verde. Assim. Portanto, esse gráfico parece com esse "V" estranho. Quando "x" for maior que "-3", isso é positivo. Então, temos o gráfico de... temos uma inclinação positiva. Mas, então, quando "x" for menor que "-3", estamos, basicamente, pegando o negativo da função (se quiser ver dessa forma), por isso temos essa inclinação negativa. Você tem esse tipo de função em forma de "V". Esse gráfico em forma de "V" que é indicativo de uma função de módulo.