Fórmula e identidade de Euler

RKA3JV - No vídeo passado, nós usamos a expansão de MacLaurin para aproximar a função "eˣ". Inicialmente, tivemos a sensação de que essa expansão aqui se tratava de uma combinação dos polinômios de aproximação de cosseno e de seno. Entretanto, não é bem isso que acontece. Quando a gente olha mais atentamente, se a gente fizer uma combinação destes dois polinômios, vão ter vários termos aqui com coeficientes negativos que vão aparecer aqui nestes polinômios, mas que não aparecem na expansão de eˣ Entretanto, nosso objetivo neste vídeo é, de alguma forma, conseguir relacionar este "eˣ" com as funções seno e cosseno. Então, eu vou usar um certo truque. Não sei se posso dizer truque, mas vamos usar um artifício aqui para a gente tentar chegar neste resultado. Se a gente admitir que "eˣ" é praticamente dado por essa expressão. Vamos dizer que quanto mais termos a gente coloca aqui melhor fica a nossa aproximação e mais próximo de uma igualdade isso fica. Se a gente admitir que a gente vai usar infinitos termos aqui nesta expansão, a gente vai ter que a "eˣ" é igualzinho a essa expansão aqui. Bom, e aí eu pergunto para vocês. O que seria, o que a gente teria se a gente fizesse "eᶦˣ"? Bom, inicialmente você vai falar: elevar alguma coisa a "ix" não é uma coisa muito simples, não é? Parece algo meio complicado. Mas se a gente sabe que "eˣ" é igual a essa expansão. Se a gente trocar aqui o "x" por "ix", a gente consegue colocando "ix" no lugar do "x", calcular essa aproximação para essa função aqui. E como a gente conhece também as potências de "i", i² eu sei que é -1, i³ eu sei que é -i, i⁴ eu sei que é 1. E assim isso vai se repetindo para sempre. É um ciclo. A gente pode ter sucesso na hora de tentar calcular essa expansão aqui. Vamos fazer isso, então. Vamos então trocar aqui este "x" por "ix". E aí, a gente vai ter "e" elevado a "ix" vai ser, aproximadamente, e aí, a nossa expansão aqui, quanto mais termos a gente colocar nessa expansão, melhor vai ficar essa aproximação. Na verdade, isso aqui não é uma demonstração formal deste resultado. A gente está apenas fazendo um processo intuitivo para tentar chegar ao resultado. Então, aqui onde tiver "x" aqui na expansão, a gente vai trocar por "ix". Então, vamos lá! Isso vai ficar 1 mais, aí, tem "x", então, vai ficar "ix" mais, aí, tem x²/ 2! vai ficar ix²/2!. Mais, depois, nós temos x³/3!, e aí, vai ficar ix³/3!, mais x⁴/4!. E aí, a gente vai ter ix⁴/ 4! mais x⁵, vai ficar ix⁵/ 5! E aí, a gente pode continuar. Quanto mais termos a gente colocar aqui, melhor. Mas já deu para a gente ter mais ou menos uma ideia. Vamos avaliar o que dá essas potencias de "ix". Nós temos ix², ix³. Vamos abrir isso aqui para a gente ver melhor como é que fica essa expansão que a gente está construindo. Isso aqui vai ficar 1 + ix + aqui eu tenho ix², então vai ficar i² vezes x². i² a gente sabe que é -1. Então, na verdade, aqui a gente vai ter -1 vezes x², sobre 2!. Mais, aqui, vai ficar i³ vezes x³. i³ é i² vezes "i". E i² a gente viu que é -1. Então, vai ficar menos "i" isso aqui, "-i". E aí, vai ficar x³/ 3! Aqui a gente vai ter i⁴ vezes x⁴, sobre 4!. i⁴ eu posso pensar que é i² vezes i². i² é -1. Então, vai ficar -1 vezes -1. Isso aqui então vai dar +1. Então, vai ficar +1x⁴ / 4!. E aí, continua no i⁵. Eu posso pensar que é i⁴ vezes "i". i⁴ a gente viu que é 1, então isso aqui volta a ser "i". i⁵ é ix⁵/ 5! E aí, já dá para a gente perceber que tem um certo padrão aqui de repetição para os coeficientes. 1, "i", -1, "-i". 1, "i", -1, x⁶ /6! e "-i" x⁷ /7! Quanto mais termos a gente colocar aqui, melhor para a nossa aproximação. Agora, dá uma olhada que a gente tem aqui alguns coeficientes que são reais e alguns coeficientes são imaginários puros. Então, vamos separar aqui. Por que a gente não separa estes caras que são reais, destes caras que são imaginários puros? Então, vamos vir aqui e vamos pegar primeiro os coeficientes reais. Então, esse cara que é um coeficiente real aqui nós temos coeficiente real, aqui nós temos coeficiente real e aqui também temos coeficiente real. Se eu escrever estes caras, aqui vai ficar 1 - x²/ 2! Depois, mais x⁴/ 4!, menos x⁶/ 6!. E, aqui, a gente pode continuar com essa ideia de ir pegando sempre estes carinhas com coeficientes reais, não é? Digamos que a gente pegou e selecionou os coeficientes reais e juntou estes termos aqui e colocou todos eles juntos. Bom, e o que sobrou? Sobrou agora os nossos coeficientes que tem números imaginários. Então, vamos pegar este aqui, este aqui, este aqui são todos os caras que têm coeficientes que aparecem "i", por isso eles coeficientes que são números imaginários puros. Bom, como a gente vai colocar todos eles têm "i", vamos colocar o "i" aqui do lado de fora, uma vez só. Vamos fatorar todos eles por "i". Então, vai aparecer o "i" aqui vezes, o "i" já saiu, vai ficar "x". Aqui, menos "i". O "i" saiu, vai ficar -x³/ 3! Aqui, também já saiu o "i", vai ficar x⁵/ 5! E aqui, menos, o "i" saiu, vai ficar x⁷/ 7!. E a gente pode continuar isso aqui colocando estes termos que têm coeficientes imaginários puros todos juntos aqui. Mas, o mais legal é que isso que a gente está fazendo, a gente arrumou aqui uma aproximação aqui pra "eˣ", não é? "eᶦˣ" Então, isso aqui que a gente está fazendo aqui é a aproximação de "eᶦˣ". Nós podemos dizer que "eᶦˣ". Eu vou usar uma cor neutra aqui. A gente pode escrever que "eᶦˣ" é igual a tudo isso aqui. Mas se você se lembrar dos vídeos anteriores, se a gente pegar este pedaço aqui, onde colocou os termos com coeficientes reais, este pedaço aqui é exatamente este polinômio que a gente usou para aproximar o cos(x). E este pedaço aqui onde a gente colocou os termos que aparecem coeficiente imaginários. Este pedaço aqui é exatamente o polinômio que a gente usou para aproximar sen(x). Então, de alguma forma, a gente já consegue relacionar cosseno e seno com algo parecido com "eˣ" Se isso aqui é o cos(x), principalmente quando a gente toma infinitos termos aqui para essa expansão, e este pedaço aqui é sen(x), Então, isso aqui é sen(x). A gente chega então a um resultado fascinante. É uma fórmula muito famosa. Vou escrevê-la aqui. É "eᶦˣ" é é igual a cos(x), e aí, você já deve estar se revirando na cadeira. Isso aqui é realmente fascinante, principalmente quando você vê pela primeira vez. Mais "i" vezes sen(x). E este resultado aqui ficou famoso e conhecido como a fórmula de Euler, devido ao grande matemático do século 18, Leonard Euler. E quando digo que isso aqui é realmente fascinante, pare para pensar um pouco no que nós estamos fazendo aqui. A gente está pegando aqui o número "e" que é um número irracional famoso. Provavelmente, você já viu lá em matemática financeira quando a gente vai fazer capitalização contínua. A gente está pegando também cosseno e seno, que são razões que surgem no triângulo retângulo. E, de alguma forma, se a gente também considerar aqui um número imaginário, que seria vamos dizer a raiz quadrada de um número negativo, isso tudo fica relacionado através dessa equação aqui, o que é fantástico! Mas vamos tentar fazer isso aqui ficar mais impressionante ainda. E se a gente colocasse no lugar do "x" um outro número também muito famoso, o número π. π que é a razão entre o comprimento e o diâmetro de um círculo. O que será que acontece quando a gente tenta usar a fórmula de Euler, colocando no lugar do "x" o π? Vamos pegar mais um número meio maluco, o número irracional π, e vamos colocar aqui junto também. Então, aqui a gente vai ter o seguinte: "e" elevado a "iπ" isso vai ser igual, a gente está trocando, então, "x" por "π". Vai ficar cos π + sen π. Vamos lembrar o que é cos π, sen π. Fazendo aqui o círculo trigonométrico rapidinho, a gente vai ter aqui o seguinte: o zero está aqui e π é meia volta. Então, aqui a gente tem do lado de cá, π. O cosseno é a projeção horizontal aqui para quando a gente está em π. Projeção horizontal aqui seria este segmento aqui. Como a gente está em um círculo trigonométrico com raio 1, este valor aqui vale 1. A questão é que como a gente foi para a esquerda, então o cos π vai ser -1. Já o sen(x), seria essa projeção vertical. E, aqui, quando você está em π, você percebe que não vai nem para cima, nem para baixo aqui no eixo vertical. Então, quando você está em π, a projeção vertical aqui é zero. Então, este pedaço aqui não tem. E aí, a gente tem o que a gente conhece aqui como isso aqui ficou famoso também, conhecido como a identidade de Euler. Então, quando a gente pega a fórmula Euler e aplica x = π, a gente cria a identidade de Euler. A gente pode escrever isso aqui também de outra forma. Deixe-me conseguir um pouco mais de espaço. E vamos usar cores diferentes para enfatizar melhor o que eu quero mostrar. Bom, vamos reescrever essa identidade acrescentando mais um aqui dos dois lados. Então, isso aqui vai ficar "e" elevado a "i" vezes "π". Nisso, a gente vai acrescentar "+1". Isso vai ser igual, eu vou usar uma cor neutra para o igual. Isso vai ser igual a, do lado de cá, vai ficar -1 + 1 e isso vai dar zero. E isso é algo para a gente realmente parar para pensar. A gente tem aqui o "i", que por simplicidade eu posso escrever como √-1. O "i" ajuda a gente a calcular as raízes de qualquer polinômio. A gente tem também o π que seria a razão entre o comprimento de um círculo e seu diâmetro, que é um número muito importante. Mas parece vir de um lugar totalmente diferente de "i". A gente tem também o "e" que é outro número interessantíssimo, que aparece por exemplo na capitalização contínua. Um resultado muito importante da matemática financeira. Também temos que a função "eˣ" quando você deriva a função "eˣ", quantas vezes você derivá-la, sempre vai dar "eˣ". Então, "e" é um número muito impressionante mesmo. E, aparentemente, o "e" não tem nada a ver de conexão aqui com o "i", nem nada a ver com o π. Aqui, a gente tem também o número 1 que seria a identidade da nossa multiplicação. E o número zero que seria identidade aqui da nossa adição, que são dois números que dispensam comentários. E o que esta equação mostra para a gente é que todos estes números bacanas que a gente usou, todos estes números interessantes que aparecem em situações do nosso universo estão conectados de alguma forma meio que mística aqui. E se isto aqui realmente não chama sua atenção, não mexe com a sua cabeça, você provavelmente não tem emoção!