Exemplo resolvido: série de potências a partir do cos(x)

RKA4JL - Vejamos se nós conseguimos encontrar a representação pela série de Maclaurin de f(x), onde f(x) é igual a x³ vezes cosseno de x². Encorajo você a pausar o vídeo e tentar. Lembre-se: a série de Maclaurin é a série de Taylor centrada em zero. Digamos que nosso objetivo são os primeiros cinco termos nulos da série de Maclaurin ou a aproximação disso pela série de Maclaurin. Assumindo que você pausou o vídeo e tentou resolver, há uma boa chance que tenha se sentido frustrado tentando isso, pois para encontrar da série de Taylor ou de Maclaurin, temos que encontrar as derivadas dessa função, e logo que começamos, isso se torna um processo bem doloroso. Então f'(x) será... Vamos usar a regra do produto. 3x² vezes cos x² mais x³ vezes a derivada disso, que será 2x vezes -sen x². Veja que apenas o começo já foi doloroso. Isso só vai piorar quando calcularmos a segunda, terceira e quarta derivadas. Possivelmente tenhamos que calcular mais. Alguns desses temas podem ser nulos, e estamos procurando os cinco primeiros termos não nulos. Então a segunda derivada vai ser dolorosa. A terceira e a quarta derivadas são ainda mais dolorosas. O que faremos aqui? Nós poderíamos resolver isso, avaliar em zero e usar isso para os nossos coeficientes, mas provavelmente você já adivinhou uma maneira mais fácil de resolver isso. Eu vou dar uma dica: nós já sabemos qual é a série de Maclaurin para o cosseno de x, fizemos isso no vídeo passado. Se você quiser revisar, há outro vídeo. Procure por cosseno da série de Taylor em zero da Khan Academy e você encontrará. Então nós já sabemos disso. Esta é uma das mais famosas séries Maclaurin. Sabemos que isso é g(x), dizemos que g(x) é igual ao cos x. Sabemos como isso se parece. A aproximação por série de Maclaurin disso será 1 menos x² sobre o fatorial de 2 mais x⁴ sobre o fatorial de 4 menos x⁶ sobre o fatorial de 6 mais... (eu poderia continuar, você vê onde isso está nos levando), mais x⁸ sobre o fatorial de 8 e continua, continua, continua, mais, menos, mais, menos, sempre assim. Porém estamos interessados nos cinco primeiros termos, então isso é só um começo. Sei que queremos esses cinco termos, mas me acompanhe e veremos como isso aqui será útil. Agora que refresquei sua memória a respeito da representação do cos x pela série de Maclaurin, a minha dica é: podemos usar isso para encontrar a representação disso pela série de Maclaurin bem aqui? Lembre-se: isso é apenas x³. Eu estou apenas relendo para você. Isso é x³ vezes g(x²). Veja que essa é uma dica bem considerável, então encorajo você a pausar o vídeo e tentar trabalhar nisso. Então vou reescrever aqui. Eu estou assumindo que você tentou. Então deixe-me reescrever o que acabei de escrever. Acabei de dizer que g(x), ou f(x), se eu quiser escrever como uma função, ou se eu quiser construir usando g(x), poderia reescrever como x³ vezes, no lugar do cos x² usaremos g(x²), então x³ vezes g(x²). g(x) é simplesmente cos x. g(x²) será cos x². Então você multiplica isso por x³. Então nós podemos aplicar esse conhecimento... Na aproximação você deve estar se perguntando isso. Minha resposta é sim, claro. Nós podemos. Quando substitui x por x², você apenas obtém outro polinômio e se multiplicar isso x³, você obterá outro polinômio. Este, na verdade, será a representação da série de Maclaurin com o que nós começamos. Na verdade obteremos a representação por série de Maclaurin disso aqui. Então podemos dizer que f(x) é aproximadamente x³ vezes (eu vou abrindo um pouco de espaço aqui) então g(x²) é a aproximação para g(x) se continuarmos indefinidamente. Seria uma representação de g(x). Então agora basta substituir por x² onde nós temos x aqui. Então vai ser 1 menos... x² ao quadrado é x⁴ sobre 2 fatorial. 2 fatorial é 2, mas vou deixar em fatorial para você ver o padrão se formando. Mais x⁴ ao quadrado é x⁸, então x⁸ sobre 4 fatorial menos x⁶ ao quadrado seria x¹² sobre 6 fatorial mais x⁸ seria x¹⁶ sobre 8 fatorial e continuarmos assim. Vamos continuando. Mas nós estamos interessados somente nos primeiros cinco termos não nulos. Sabendo que é apenas uma aproximação, assim dizemos que isso será aproximadamente igual... Vamos distribuir x³. Eu vou trocar de cor. Distribuindo x³ vamos obter x³ menos (x⁷ sobre 2 fatorial) mais (x¹¹ sobre 4 fatorial), menos (x¹⁵ sobre 6 fatorial), mais (x¹⁹ sobre 8 fatorial), e são os cinco primeiros termos não nulos. Nós terminamos. Agora que vê o resultado, você se dá conta que demoraria muito tempo para resolver isso por, digamos, força bruta. Você teria que encontrar a 19ª derivada dessa equação maluca, mas quando você se dá conta de que pode expressar essa função como x elevado a uma potência vezes algo que eu sei que é uma série de Maclaurin, então nós podemos ver dessa forma. Se eu puder reescrever... Deixe-me tentar escrever de uma forma um pouco menos confusa. Se eu puder reescrever a minha função como (posso até colocar um coeficiente aqui) Axⁿ vezes uma função (deixe-me pegar uma cor nova, roxo) vezes g(B), então Bx elevado a algum outro expoente, onde eu posso, sem muitos cálculos, se eu souber a representação por série de Maclaurin de g(x) e se souber o que será g(x), então eu posso fazer como fizemos nesse vídeo. Eu encontro a representação da série de Maclaurin para g, substituo x por pelo que tiver aqui e Bxᵐ, onde m é algum expoente. Isso me dará outro polinômio, outra série de potências. Então multiplico isso por Axⁿ e isso novamente resultará na série de potências da minha função original.