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Curso: Biblioteca de Física > Unidade 10

Lição 1: Temperatura, teoria cinética e a lei dos gases ideais

O que é a distribuição de Maxwell-Boltzmann?

Em um gás, há muitas moléculas viajando em muitas diferentes velocidades. Aqui está um modelo para pensar sobre isso.

O que é a distribuição de Maxwell-Boltzmann?

As moléculas de ar ao nosso redor não estão se deslocando à mesma velocidade, mesmo que todo o ar esteja a uma única temperatura. Algumas das moléculas de ar se movem extremamente rápido, algumas se movem com velocidades médias, e outras praticamente não se movem. Por isso, não podemos fazer perguntas do tipo "qual é a velocidade de uma molécula de um gás?", porque uma molécula em um gás pode ter qualquer uma dentre diversas velocidades possíveis.

Então, ao invés de perguntar sobre uma molécula de gás específica, fazemos perguntas como, "qual é a distribuição de velocidades em um gás a uma certa temperatura?" No final dos anos 1800, James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann descobriram a resposta para essa pergunta. O resultado que eles obtiveram é chamado de distribuição de Maxwell-Boltzmann, porque mostra como as velocidades das moléculas são distribuídas em um gás ideal. A distribuição de Maxwell-Boltzmann geralmente é representada com o gráfico a seguir.

O eixo y do gráfico de Maxwell-Boltzmann pode ser visto como o número de moléculas por unidade de velocidade. Então, se o gráfico está mais alto em uma dada região, significa que há mais moléculas de gás se movendo com aquelas velocidades.

Sim, tem razão. O número de moléculas de gás que se movem com uma velocidade de exatamente

231, 46191432032804 \frac{m}{s}

é próximo de zero, já que as chances de uma molécula de um gás ter exatamente essa velocidade são muito pequenas. Por isso, você pode pensar que um gráfico com o "número de moléculas" no eixo y deveria simplesmente ser zero para todas as velocidades exatas do eixo x.

Podemos evitar esse problema simplesmente tratando o eixo x como se fosse composto por "caixas" de largura

Δ v = 1 \frac{m}{s}

, assim, simplesmente colocamos no gráfico o número de moléculas com velocidades entre

v

v + 1 \frac{m}{s}

. Isso nos dará valores não nulos para o número de moléculas. Ou poderíamos alterar o tamanho da "caixa" para que ele seja tão pequeno quanto quisermos, para termos o nível de precisão desejado.

Embora estejamos falando nisso, para evitar todo esse problema, as pessoas normalmente usam algo chamado densidade de probabilidade no eixo vertical ao invés de usar o número de moléculas. A densidade de probabilidade é a probabilidade, por unidade de velocidade, de encontrarmos uma partícula com uma velocidade próxima de

v

Observe que o gráfico não é simétrico. Há uma "cauda" mais longa na região das altas velocidades, na extremidade direita do gráfico. O gráfico continua à direita para velocidades extremamente altas, mas à esquerda o gráfico deve terminar em zero (já que uma molécula não pode ter uma velocidade menor que zero).

A equação matemática real da distribuição de Maxwell-Boltzmann é um pouco assustadora, e normalmente não é necessária em muitas aulas de introdução à álgebra.

Ok, aqui está a equação da distribuição de Maxwell-Boltzmann.

f (v) = \sqrt{[\frac{m}{2 π k T}]^{3}} 4 π v^{2} e^{(- \frac{m v^{2}}{2 k T})}

f (v)

dá a densidade de probabilidade como uma função da velocidade

v

. Essa equação diz que a densidade de probabilidade depende da temperatura

T

do gás, da massa

m

das moléculas e da constante de Boltzmann

k

. A densidade de probabilidade é uma alternativa para o eixo vertical, usada no lugar do número de moléculas. A densidade de probabilidade é a probabilidade, por unidade de velocidade, de encontrarmos uma partícula com a velocidade próxima de

v

Você não precisa entender completamente essa equação matemática para compreender muitas das ideias conceituais associadas à distribuição de Maxwell-Boltzmann. Então não se preocupe muito se a equação acima parecer uma bruxaria matemática.

O que significa raiz da velocidade quadrática média?

Você pode achar que a velocidade localizada diretamente abaixo do pico do gráfico de Maxwell-Boltzmann é a velocidade média das moléculas do gás, mas isso não é verdade. A velocidade localizada diretamente abaixo do pico é a

velocidade mais provável v_{p}

, já que é mais provável que encontremos moléculas a essa velocidade.

velocidade média v_{m e d}

das moléculas do gás está, na verdade, localizada um pouco à direita do pico, devido à "cauda" maior no lado direito do gráfico de distribuição de Maxwell-Boltzmann. Essa cauda mais longa puxa a velocidade média um pouco para a direita do pico do gráfico.

Outra grandeza útil é conhecida como

raiz da velocidade quadrática média v_{r m s}

. Essa grandeza é interessante porque sua definição está escondida no próprio nome. Raiz da velocidade quadrática média é a raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades vetoriais. Podemos escrever a raiz da velocidade quadrática média matematicamente como

v_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{N} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + …)}

Pode parecer que essa técnica de encontrar um valor médio é desnecessariamente complicada, já que elevamos todas as velocidades vetoriais ao quadrado somente para tirar a raiz quadrada depois. Você pode pensar, "Por que não podemos simplesmente tirar uma média das velocidades vetoriais?", mas lembre-se de que a velocidade vetorial é um vetor e tem uma direção. A velocidade vetorial média das moléculas de gás é zero, já que há tanto moléculas de gás indo para a direita (velocidade vetorial +) quanto para a esquerda (velocidade vetorial -). É por isso que primeiro elevamos as velocidades vetoriais ao quadrado, para torná-las positivas. Isso garante que tirar a média (isto é, o valor médio) não resultará em zero. Os físicos geralmente usam esse truque para encontrar valores médios de grandezas que podem receber valores positivos e negativos (por exemplo, a tensão e a corrente em um circuito de corrente alternada).

É útil conhecer a raiz da velocidade quadrática média porque a energia cinética de uma molécula é proporcional ao quadrado da velocidade (

K = \frac{1}{2} m v^{2}

). Então, para encontrarmos a energia cinética média

K_{m e d}

, precisamos tirar a média dos quadrados das velocidades vetoriais.

K_{m e d} = \frac{1}{N} (K_{1} + K_{2} + K_{3} + …)

K_{m e d} = \frac{1}{N} (\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + \frac{1}{2} m v_{3}^{2} + …)

K_{m e d} = \frac{1}{2} m [\frac{1}{N} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + …)]

K_{m e d} = \frac{1}{2} m v_{r m s}^{2}

Então, a energia cinética molecular média de um gás é proporcional ao quadrado da raiz da velocidade quadrática média (rms). Pode ser estranho que a energia cinética média seja proporcional à velocidade rms ao invés da velocidade média, mas para encontrar a energia cinética média precisamos primeiro elevar ao quadrado e depois encontrar a média, ao invés de encontrar a média e depois tirar a raiz quadrada.

Devemos observar que todas essas três grandezas (

v_{p}

v_{m e d}

, and

v_{r m s}

) são bastante grandes, mesmo para um gás em temperatura ambiente. Por exemplo, o gás neon em temperatura ambiente (

293 K

) tem uma velocidade mais provável, velocidade média e raiz da velocidade quadrática média de cerca de

v_{p} = 491 \frac{m}{s}

(ou

1100 \frac{mi}{hr})

v_{a v g} = 554 \frac{m}{s}

(ou

1240 \frac{mi}{hr})

v_{r m s} = 602 \frac{m}{s}

(ou

1350 \frac{mi}{hr})

O que a área abaixo de uma distribuição de Maxwell-Boltzmann representa?

O eixo y do gráfico da distribuição de Maxwell-Boltzmann dá o número de moléculas por unidade de velocidade. A área total sob toda a curva é igual ao número total de moléculas no gás.

Se aquecermos o gás a uma temperatura maior, o pico do gráfico vai se deslocar para a direita (já que a velocidade molecular média vai aumentar). Conforme o gráfico se desloca para a direita, sua altura diminui para manter a mesma área total sob a curva. Da mesma forma, conforme o gás é resfriado para uma temperatura menor, o pico do gráfico é deslocado para a esquerda. Conforme o gráfico se desloca para a esquerda, sua altura aumenta para manter a mesma área sob a curva. Isso pode ser visto nas curvas abaixo, que representam a amostra de gás (com um número constante de moléculas) a temperaturas diferentes.

Conforme o gás fica mais frio, o gráfico fica mais alto e mais estreito. Da mesma forma, conforme o gás fica mais quente, o gráfico fica mais baixo e mais largo. Isso é necessário para que a área sob a curva (por exemplo, o número total de moléculas) permaneça constante.

Se mais moléculas fossem inseridas na amostra, a área total sob a curva aumentaria. Da mesma forma, se moléculas fossem retiradas da amostra, a área total sob a curva diminuiria.

Como são os exemplos resolvidos envolvendo a distribuição de Maxwell-Boltzmann?

Exemplo 1: Esfriando um gás

Um gás de nitrogênio diatômico está fechado em um contêiner. O contêiner lacrado é colocado em uma banheira de gelo e atinge uma temperatura de equilíbrio menor devido ao banho de gelo.

O que acontece com as seguintes grandezas conforme o gás esfria? (selecione duas afirmativas corretas)

(Escolha A)
A raiz da velocidade molecular quadrática média do gás aumenta
(Escolha B)
O gráfico do número de moléculas versus a velocidade se torna mais estreito
(Escolha C)
A velocidade molecular média dos gases diminui
(Escolha D)
A altura máxima do gráfico do número de moléculas vs velocidade fica menor

Conforme o gás esfria, a velocidade média fica menor, já que as moléculas de um gás frio se movem mais devagar.

Além disso, o gráfico do número de moléculas vs. velocidade vai ficar mais estreito conforme o gás esfriar. Como o número de moléculas permanece fixo em um contêiner lacrado, a área sob a curva será constante. Conforme o pico do gráfico se desloca para a esquerda, a altura do pico vai aumentar para manter a mesma área total sob a curva, tornando a curva mais alta e mais estreita conforme a temperatura diminui.

Exemplo 2: Variação no gás

Um gás tem uma distribuição de velocidades da seguinte forma:

Qual das seguintes séries de ações poderia fazer o gráfico de distribuição mudar da curva 1 para a curva 2, como mostrado abaixo?

(Escolha A)
Moléculas de gás mais quentes podem entrar e entrar em equilíbrio com o gás inicial.
(Escolha B)
Algumas das moléculas de gás podem sair, e o restante da amostra de gás é aquecida em um recipiente fechado.
(Escolha C)
Algumas das moléculas de gás podem sair da amostra, e o restante da amostra de gás é resfriada em um recipiente fechado.
(Escolha D)
Nenhuma molécula pode entrar ou sair, mas o gás é resfriado em um recipiente fechado

Como a área total sob o gráfico diminui, algumas das moléculas de gás devem ter deixado a amostra. Além disso, como o pico foi deslocado para a esquerda, a velocidade média das moléculas do gás diminuiu, o que significa que a amostra restante atingiu uma temperatura menor.

Então, se permitirmos que um pouco do gás saia e depois esfriarmos o gás restante, vamos produzir a variação vista no gráfico de distribuição.

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Fabricio Gegenheimer
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “O que significa raiz da v...” de Fabricio Gegenheimer
O que significa raiz da velocidade quadrática média?
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Resposta
- Gabriel
  Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “significa pegar a velocid...” de Gabriel
  significa pegar a velocidade, elevar ao quadrado e fazer a raiz disso. Basicamente você faz isso para obter o valor da velocidade em módulo, sem sinal negativo.
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