Avaliando uma transformação de Lorentz

RKA1C Vamos agora um pouco mais fundo na transformação de Lorentz! Vamos colocar alguns números aqui. Vamos procurar ficar um pouco mais familiarizados com estes cálculos e começar a ter uma ideia um pouco mais intuitiva do que nos traz a transformação de Lorentz ou, às vezes no plural, chamada de transformações de Lorentz. Vamos observar como elas se comportam. Vamos retomar a situação anterior, em que estou flutuando em algum ponto do espaço e minha amiga passa com uma velocidade v em sua nave espacial. Vamos supor que ela tem velocidade de metade da velocidade da luz, ela se move na direção do eixo x no sentido positivo, e os nossos diagramas espaço-tempo coincidem na origem. Vamos tomar um evento, que é este ponto, no espaço-tempo. Vamos dizer que nesse evento, que eu já analisei em vídeo anterior, tenho x igual a 1 metro. E vamos considerar que o tempo, melhor dizendo, o ct é também igual a 1 metro. Como eu disse em vídeos anteriores, podemos olhar para isso como 1 metro-luz que é o tempo que a luz leva para percorrer 1 metro. Então, no meu sistema de referência, esse ponto tem as coordenadas (1,1): 1 metro na direção x, 1 metro na direção ct. A partir daí, vamos pensar no que seriam as coordenadas x' e ct', que estão no sistema de referência da minha amiga. Uma sugestão é que você pare o vídeo agora e calcule o fator de Lorentz com estas informações de v e c obtenha x' e ct'. Assumindo que você já fez a sua tentativa, vamos verificar juntos. Vamos agora começar, para facilitar, obtendo o valor de β para em seguida obter o fator de Lorentz. β é 0,5c, que é a velocidade relativa dela no meu sistema de referência, sobre c, que é a velocidade da luz. Simplificando, dá 0,5. Como você pode ver, β indica qual é a fração da velocidade da luz que representa a velocidade relativa da minha amiga no meu referencial. Vamos agora obter Γ, que é o fator de Lorentz. Γ vai ser igual a: 1 sobre raiz quadrada de 1 menos β². Ou seja, invés de β, já podemos colocar 0,5². Ao fazer as contas, 0,5² dá 0,25, e 1 menos 0,25 resulta em 0,75. Ou seja: Γ, que é o fator de Lorentz, vai ser igual a 1 sobre a raiz quadrada de 0,75. Vou usar aqui uma calculadora. Eu posso pelo menos aproximar esse valor, a raiz quadrada de 0,75... Depois, obtendo o inverso dela: aproximadamente 1,15 é o que teremos aqui para o fator de Lorentz. Então o nosso Γ vai ser aproximadamente 1,15. A ideia agora é usar o fator de Lorentz e obter o x' e ct'. Começando aqui pelo x': x' vai ser aproximadamente... Lembre-se que nós aproximamos alguns cálculos ali atrás, então x' vai ser aproximadamente 1,15. Multiplicando o x, que é 1 metro, menos o β, que já calculamos e é 0,5, vezes o ct, que no meu diagrama é 1 metro. Agora, olhando para o ct': ct' é igual ao Γ, fator de Lorentz, que é aproximadamente 1,15 também, multiplicando o ct, que já sabemos que é 1, menos β, que é 0,5 novamente aqui, vezes o x, que também é 1 nesse nosso exemplo. Vale aqui a observação: o x e o ct são iguais a 1 porque, no meu exemplo, aconteceu uma situação particular e nós escolhemos fazer assim para facilitar os cálculos e até mesmo a compreensão de tudo isso. Vamos finalmente efetuar as contas: 1 menos... 0,5 vezes 1 resulta em 0,5. Ou seja: o x' vai ser, claro que aproximadamente, 1,15 vezes 0,5. Do mesmo modo para o ct', não percamos tempo, o que está entre parênteses vai ser 0,5. Vou finalizar com a minha calculadora. Eu já tenho aqui o valor do fator de Lorentz, basta multiplicar por 0,5 e vamos chegar a 0,58. Então, temos x' igual a 0,58 e ct' igual a 0,58. Não se esqueça de que as unidades aqui estão em metros. Então, como x é 1 e o ct é 1, no sistema de referência da minha amiga, o x' vai ser 0,58 e o ct' também vai ser 0,58 metros. Uma maneira de pensar sobre isso é que, justo quando o x é igual a zero e o tempo também é zero no meu sistema de referência, eu acendo a minha lanterna, e o primeiro fóton começa a se deslocar. Eu posso pensar que aqui está o caminho dele no espaço-tempo, seria algo assim o caminho dele. E posso pensar que, quando esse meu fóton viajou 1 metro na direção x e 1 metro-luz de tempo se passou, isso tudo no meu sistema de referência, a minha amiga no referencial dela diria... Não! Vamos supor que, naquele ponto, o fóton ilumina um asteroide e ela diria que isso aconteceu depois de 0,58 metros-luz de quando ela passou por mim, e aconteceu a uma distância de 0,58 metros na direção positiva de x no referencial dela. Então, algo muito, muito interessante está acontecendo por aqui! Sugiro agora que você pare o vídeo e pense com mais carinho no que está acontecendo com cada uma das partes da transformação de Lorentz aqui. Na verdade, tudo é interessante, a assimetria, de fato, é bastante interessante, mas, sobre o fator de Lorentz, pense bem no que está acontecendo exatamente aqui. Pense no que aconteceria aqui para velocidades pequenas, bem menores que a velocidade da luz, quando o v é uma fração muito, muito pequena da velocidade da luz. Nesse caso, o β seria bem próximo de zero e, portanto, o fator de Lorentz seria bem próximo de 1. E o que acontece quando v se aproxima da velocidade da luz? O Γ fica muito, muito grande já que, nesse caso, teríamos um denominador tendendo a zero, cada vez menor. E, se o v chegasse a ser exatamente a velocidade da luz, nós teríamos aqui um denominador zero. Agora, sugiro a você que tente substituir valores de velocidade aqui no v por outros mais próximos do nosso mundo real. Nós tentamos uma velocidade muito alta, que é a metade da velocidade da luz, mas experimente colocar, por exemplo, a velocidade de uma bala e veja o que acontece. O importante é você ficar familiarizado com tudo isso aqui. Experimente também algumas manipulações algébricas, o que é, na verdade, o que será feito em próximos vídeos, e procure achar a transformação de Lorentz ou as transformações de Lorentz, assim como você vê no seu livro-texto. Até o próximo vídeo!