Dependência de período para a massa na mola

RKA8JV - Vimos que uma massa oscilando amarrada a uma mola tem uma certa amplitude, que é o máximo deslocamento a partir da posição de equilíbrio, o período é o tempo necessário para que se cumpra um ciclo, ou seja, para que a massa saia da posição inicial, faça o ciclo e volte até ela. Mas qual é a relação de dependência entre essas coisas? Primeiro, que o quanto a pessoa ou o objeto que está puxando essa massa para trás está determinando a amplitude. Ao puxar esta massa longe, define-se uma amplitude maior. Ao puxá-la pouco em relação à posição de equilíbrio, a amplitude vai ser menor. Um pouco menos óbvia é a ideia do período. O período depende de quê? O que é ou quem determina o período? A primeira pergunta é que se eu puxar mais esta massa, esticando mais a mola, teríamos um período diferente? Alguns de vocês poderiam dizer que sim. Esticando mais a mola teremos um período maior, já que a massa vai ter de viajar por um espaço um pouco maior. Em vez de a massa se deslocar por este tamanho, teria que se deslocar por este tanto maior aqui, e isso significaria que o período deveria ser maior. Por outro lado, você poderia pensar que, ao puxar esta massa mais longe da posição de equilíbrio, pela lei de Hooke, que diz que a força é proporcional ao deslocamento em relação à posição de equilíbrio, isso significaria que ao estender mais a mola, haveria uma força maior da mola agindo sobre a massa, e isso iria fazer com que, no final das contas, a massa se movimentasse com uma velocidade maior, e ela passaria então mais rapidamente pela posição de equilíbrio, e ao se movimentar mais rapidamente para completar o ciclo, o período poderia ser menor. A verdade é que uma ideia compensa a outra. O fato de estender mais a mola vai fazer com que a massa viaje mais rapidamente em um deslocamento maior, havendo uma perfeita a compensação e não alterando o período da oscilação. Parece um pouco maluco. Precisamos reforçar que alterações da amplitude não alteram o período. Então, se eu puxar a massa só um pouquinho em relação de equilíbrio e soltar, ela vai oscilar com um período, digamos, de 3 s. Posso puxar a mesma massa, bastante, para longe da posição de equilíbrio e soltar, e ela oscilará a também com um período de 3 s. Então, a amplitude não afeta o período. Parece meio maluco, mas é verdade. Colocando em um gráfico, modificando a amplitude, por exemplo, aumentando amplitude, estamos deslocando o gráfico somente na direção vertical. Observe que o período não é afetado. Deformar o gráfico na vertical não quer dizer necessariamente deformá-lo na horizontal, que é o que afetaria o período. Mas, então o que é que realmente afeta o período? Existe uma fórmula indicando o que afeta o período, que é esta. O período da massa na mola é igual a 2π vezes raiz quadrada da massa dividida pela constante da mola, que é a mesma constante que está na lei de Hooke para aquela mola. Esta é a fórmula que determina o período de uma massa conectada a uma mola oscilando. Não vamos fazer a demonstração desta fórmula porque ela depende de cálculo. Se você já conhece cálculo, pode procurar, nos vídeos, a demonstração desta fórmula usando cálculo. Vamos começar a analisar esta fórmula, perguntando a respeito da massa. Por que aumentar a massa significa aumentar o período da oscilação? Matematicamente é fácil verificar que, aumentando o numerador, nós aumentamos o resultado desta conta que o período. Fisicamente, a ideia é que, com maior massa, este objeto tem maior inércia, portanto é mais difícil alterar o seu estado de movimento, fazendo com que demore mais para que o ciclo aconteça, ou seja, o período é maior. Com mais inércia é mais difícil fazer com que a massa comece a deslocar-se, depois, para fazê-la diminuir a velocidade até o zero e voltar a se mover no outro sentido, tudo isso fica mais demorado, então, o período fica maior. Com relação à constante da mola, observe que aumentar o valor da constante da mola, na lei de Hooke significa uma força maior, para um mesmo deslocamento. Então, sendo a constante da mola maior, ao deslocar a massa em relação ao ponto de equilíbrio, haverá uma força maior sendo exercida sobre a massa e isso fará com que a massa se movimente mais rapidamente na oscilação, portanto, em um menor intervalo de tempo, diminuindo o período. Então, sendo maior a constante da mola, menor é o período. Então, aumentando a massa, aumentamos o período, aumentando a constante da mola, reduzimos o período. Estes são os fatores que afetam o período. Observe que a amplitude não aparece aqui, portanto, não afeta o período. Observe, mais uma vez, que não está sendo demonstrada esta fórmula aqui, mas você encontra demonstração dela nos vídeos sobre movimento harmônico simples que envolvem cálculo. Uma coisa importante a observar, é que esta fórmula também vale se a massa está oscilando verticalmente. Podemos supor uma massa pendurada em uma mola amarrada no teto que oscila verticalmente, para cima e para baixo, portanto. Esta expressão também dá o período da massa conectada a esta moda nesta situação. Basta colocar a massa do objeto aqui na expressão, a constante da mola aqui, e você tem como calcular o período de oscilação. Isto também indica que o período de oscilação não depende da aceleração da gravidade. O "g" não vai aparecer aqui. E isso tudo é uma boa notícia porque esta fórmula funciona para massas oscilando na horizontal ou na vertical, quando amarradas em uma mola. Então, recapitulando. O período de uma massa conectada a uma mola não depende da amplitude. Você pode modificar a amplitude puxando mais a mola, mas isso não vai afetar o tempo que esta massa precisa para completar um ciclo. Isso é verdade na situação em que a massa está conectada a uma mola e oscila horizontalmente, ou verticalmente? O período, na oscilação vertical, também não depende da aceleração da gravidade. O que também significa que, se você amarrar uma massa em uma mola verticalmente em Marte ou na Lua e colocá-la em oscilação, o período será o mesmo. Entretanto, a massa afeta o período de oscilação. Maior massa significa maior período por causa da maior inércia. O período de oscilação também é afetado pela constante da mola. Quanto maior a constante da mola, menor é o período, porque a força que a mola exerce sobre a massa é maior. Até o próximo vídeo!