Fórmula do efeito Doppler para frequência observada

RKA13C Eu tenho esta fonte de uma onda aqui que está se movendo para a direita a uma certa velocidade. Vamos dizer, então, que a velocidade da fonte, vamos chamá-la de "Vf para a direita"... Então, vamos fazer o que fizemos no último vídeo, mas vamos fazê-lo em termos mais abstratos, para que possamos chegar a uma fórmula generalizada para a frequência observada. Então, esta é a velocidade com que ela está se movendo para a direita, e ela está emitindo uma onda. Vamos dizer que a onda que ela está emitindo... A velocidade da onda, vamos chamar de "V radialmente para fora". Temos que dar um módulo e uma direção, então, "radialmente para fora". Essa é a velocidade da onda, e essa onda vai ter um período e uma frequência, mas ela vai ter um período e uma frequência associados ao ponto de vista da fonte. Isso tudo é mecânica clássica, nós não vamos falar sobre a velocidade relativa, portanto, não temos que nos preocupar com todas as coisas estranhas que acontecem quando as coisas se aproximam da velocidade da luz. Vamos dizer, então, que ela tenha algum período de... Deixe-me de escrever isso desta maneira: o período de origem, que é o período da onda a partir da perspectiva da fonte, então, o período da fonte, nós vamos chamar de "Tf". E a frequência da fonte, que seria apenas o que aprendemos, espero que agora seja intuitivo, seria o inverso disso. Então, a frequência da fonte, vamos chamá-la de "Ff". Essas duas coisas são o inverso uma da outra, o inverso do período de uma onda é a sua frequência, e vice-versa. Vamos pensar, então, apenas no que vai acontecer. Vamos dizer que, no tempo igual a zero, ela emite aquela primeira crista, esse primeiro pulso. Então, ela acabou de emiti-la. Você não pode sequer vê-la, porque acabou de ser emitida. Agora, vamos avançar "T" segundos, vamos dizer que isto está em segundos. Assim, a cada "T" segundos, ela emite um novo pulso. Em primeiro lugar, onde está esse primeiro pulso após "T" segundos? Você multiplica a velocidade desse primeiro pulso pelo tempo, a velocidade vezes o tempo lhe dará uma distância. Se você não acredita em mim, eu vou lhe mostrar um exemplo. Se eu disser que a velocidade é de 5 m/s, e vamos dizer que este período é de 2 segundos, vai dar 10 m, o "segundo" se cancela. Então, para descobrir até onde essa onda terá ido depois de "T" segundos, você apenas multiplica "T" pela velocidade da onda (V). E vamos dizer que ela chegou aqui, ela está radialmente para fora, então, vou desenhá-la radialmente para fora. Esta é a minha melhor tentativa de um círculo... E esta distância aqui, este raio aqui, é igual à velocidade vezes o tempo, a velocidade daquele primeiro pulso, que é, na verdade, a velocidade. Estou dizendo que "V" é radialmente para fora. Esta não é uma grandeza vetorial, este é apenas um número que você pode imaginar. "V" vezes o período... "V" vezes o período, vezes "Tf". Eu sei que é abstrato, mas apenas pense: esta é apenas a distância vezes o tempo. Se isso estivesse se movendo a 10 m/s e se o período for de 2 segundos... Essa é a distância, ela terá se deslocado 10 m depois de 2 segundos. Agora, essa coisa que mencionamos no início do vídeo está se movendo. Embora isso seja radialmente para fora a partir do ponto em que foi emitida, essa coisa não está parada, essa coisa também se moveu. Até onde? Multiplicamos sua velocidade pelo mesmo número de tempo. Lembre-se: estamos dizendo como isso aparece depois de "T" segundos ou algum período de tempo "T". Bem, essa coisa está se movendo para a direita, vamos dizer que seja aqui, vamos dizer que tenha se movido para cá. Neste vídeo, estamos assumindo que a velocidade de nossa fonte é estritamente menor que a velocidade de uma onda. Umas coisas interessantes acontecem bem quando estão iguais e, obviamente, quando vão em outra direção, mas vamos supor que seja estritamente menor. A fonte está viajando mais devagar que a onda real, mas qual é a distância? Lembre-se: estamos falando sobre... Deixe-me fazer isso em laranja também. Esta realidade laranja é o que aconteceu depois de "T" segundos, pode se dizer assim. Portanto, esta distância bem aqui, aquela distância ali... Farei esta em uma cor diferente. Será, então, a velocidade da fonte, será "V" vezes a quantidade de tempo decorrido. E eu disse, no início, que a quantidade de tempo é o período da onda, esse é o tempo em questão. Então, após um período da onda, se isso for 5 segundos, diremos, então, depois de 5 segundos, que a fonte se moveu até aqui, "Vf" vezes "Tf". Essa primeira crista de nossa onda se moveu até aqui. "V" vezes "Tf". Agora, o tempo de que estamos falando é o período de cada onda sendo emitida. Então, exatamente após essa quantidade de tempo, esse cara está pronto para emitir a próxima crista, ele passou um ciclo, precisamente. Ele vai emitir alguma coisa nesse momento, ela está sendo emitida apenas neste ponto. Então, qual é a distância entre a crista que ele emitiu "T" segundos atrás, ou horas ou microssegundos atrás, e a crista que ele está emitindo? Elas vão se mover na mesma velocidade, mas este cara já está aqui, enquanto este cara está começando a partir da posição da fonte. Assim, a diferença na distância deles, pelo menos você pode olhar para ele nessa direção, é a distância entre esta fonte aqui e esta crista. Então, qual é a distância aqui? Qual é aquela distância ali? Toda essa distância radial, já dissemos, toda essa distância radial é "V", a velocidade da onda, vezes o período da onda a partir da perspectiva da fonte. E vamos subtrair a distância em que a fonte em si se moveu. A fonte avançou na direção, neste caso, se estivermos olhando para ela deste ponto de vista, a essa frente de onda. Portanto, isso vai ser "- V", a velocidade da fonte, vezes o período da onda a partir da perspectiva da fonte. Então, eu vou fazer para você uma pergunta: se você está sentado bem aqui, se você é o observador, você é este cara bem aqui, você está sentado ali, então. Você acabou de obter esta primeira crista no exato momento em que a primeira crista passou por você. Quanto tempo você vai ter que esperar para a próxima crista? Quanto tempo até que essa crista que este cara está emitindo neste momento passe por você? Bem, ela vai ter que cobrir, cobrir esta distância. Deixe-me anotar isso. Então, a pergunta que estou fazendo é: qual é o período a partir do ponto de vista desse observador, que está bem na direção do movimento da fonte? Portanto, o período a partir do ponto de vista do observador vai ser igual à distância que o próximo pulso tem que percorrer, que é esse negócio lá em cima. Então, deixe-me copiar e colar isso. Portanto, será isso... Deixe-me livrar disto. Não se deve parecer com um sinal de igual, então eu posso apagar isto aqui, ou um sinal de negativo. Portanto, será esta a distância que o próximo pulso vai percorrer... Esse pulso será emitido naquele exato momento. ...dividida pela velocidade desse pulso ou a velocidade da onda. E sabemos que ela é o quê? É "V". Isso nos dá o período de observação. Agora, se quisermos a frequência, podemos manipular isso um pouco, vamos fazer isso um pouco. Também poderíamos escrever isto: poderíamos colocar em evidência o período da onda, então, vamos fatorar. Assim, torna-se "Tf" vezes: a velocidade da onda menos a velocidade da fonte, tudo isso sobre a velocidade da onda. Desse jeito, nós obtemos a nossa fórmula para o período observado, para esse observador que está sentado bem no caminho desse objeto em movimento como uma função do período real dessa fonte de onda, da velocidade da onda e da velocidade da fonte. Agora, se quiséssemos a frequência, apenas pegamos o inverso disso. Então, a frequência do observador... Esse é o tanto de segundos que leva para ele ver o próximo ciclo. Se quiser ciclos por segundo, você pega o inverso. Então, a frequência do observador será apenas o inverso disso. Se pegarmos o inverso dessa expressão inteira, obteremos 1 sobre "Tf" vezes V sobre a velocidade da onda menos a velocidade da fonte. Então, claro, é 1 sobre o período a partir do ponto de vista da fonte, isso é a mesma coisa. Este aqui é a mesma coisa que a frequência da fonte. Aí está! Temos nossas duas relações. Pelo menos, se você estiver no caminho, se a velocidade da fonte estiver indo em sua direção, então, temos nossas fórmulas. E vou reescrevê-las, só porque o período observado pelo observador será o período do ponto de vista da fonte vezes a velocidade menos a velocidade da fonte, tudo dividido pela velocidade da onda em si. A frequência, a partir do ponto de vista do observador, é apenas o inverso disso, que é a frequência. O inverso do período é a frequência a partir do ponto de vista da fonte vezes a velocidade da onda dividida pela velocidade da onda menos a velocidade da fonte. No próximo vídeo, eu farei exatamente o mesmo exercício, mas pensarei apenas no que acontece com o observador que está sentado bem ali.