Redes de resistores Delta-Wye

Às vezes quanto você está simplificando uma rede resistiva, você não consegue avançar. Algumas redes resistivas não podem ser simplificadas usando-se as combinações série - paralela. Essa situação pode muitas vezes ser tratada tentando-se a transformação $\mathrm{\Delta }-\text{Y}$‍, ou transformação 'Delta-Y'.

Os nomes Delta e Ípsilon vêm do formato do esquema, que lembra essas letras. A transformação permite substituir três resistores numa configuração $\mathrm{\Delta }$‍ por três resistores numa configuração $\text{Y}$‍, e vice versa.

As formas $\mathrm{\Delta }-\text{Y}$‍ enfatizam configurações com três terminais. Deve-se observar o número diferente de nós nas duas configurações. $\mathrm{\Delta }$‍ possui três nós, enquanto $\text{Y}$‍ tem quatro nós (um nó extra no centro).

As configurações podem ser redesenhadas para colocar os resistores em um quadrado. É a chamada configuração $\pi -\text{T}$‍,

O estilo $\pi -\text{T}$‍ é mais um estilo mais convencional que vocês irão encontrar num esquema típico. A equação de transformação desenvolvida a seguir também se aplica à configuração $\pi -\text{T}$‍.

Para a transformação ser equivalente, a resistência entre cada par de terminais deve ser a mesma antes e depois. É possível escrever três equações simultâneas para atender a essa limitação.

Considere os terminais $x$‍ e $y$‍ (e por enquanto assuma que o terminal $z$‍ não está conectado a nada, então a corrente em $\text{R}3$‍ é $0$‍ ). Na configuração $\mathrm{\Delta }$‍, a resistência entre $x$‍ e $y$‍ é $Rc$‍ em paralelo com $Ra+Rb$‍ .

Do lado $\text{Y}$‍, a resistência entre $x$‍ e $y$‍ é a combinação em série $R1+R2$‍ (mais uma vez, assuma que o terminal $z$‍ não está conectado a nada, então $\text{R}1$‍ e $\text{R}2$‍ carregam a mesma corrente e podem ser consideradas em série). Podemos defini-los iguais uns aos outros para obter a primeira de três equações simultâneas,

Podemos escrever duas expressões similares para os outros dois pares de terminais. Observe que os resistores $\mathrm{\Delta }$‍ são identificados usando letras, $(Ra$‍, etc$)$‍ e os resistores $\text{Y}$‍ são identificados por números, $(R1$‍, etc.$)$‍.

Depois de resolver as equações simultâneas (não mostradas), temos as equações para transformar qualquer rede na outra.

Equações para transformar uma rede $\mathrm{\Delta }$‍ em uma rede $\text{Y}$‍:

Transformar $\mathrm{\Delta }$‍ para $\text{Y}$‍ introduz um nó adicional.

Equações para transformar uma rede $\text{Y}$‍ em uma rede $\mathrm{\Delta }$‍:

Transformar $\text{Y}$‍ para $\mathrm{\Delta }$‍ remove um nó.

Façamos um exemplo simétrico. Suponha que temos um circuito $\mathrm{\Delta }$‍ com resistores de $3\mathrm{\Omega }$‍. Derive o $\text{Y}$‍ equivalente usando as equações $\mathrm{\Delta }\to \text{Y}$‍.

Na direção contrária, de $\text{Y}\to \mathrm{\Delta }$‍, temos que,

Agora, um exemplo mais complicado. Queremos encontrar a resistência equivalente entre os terminais superior e inferior.

Não há resistores em série ou em paralelo. Mas não há problema. Primeiro, vamos redesenhar o esquema para enfatizar que temos duas conexões $\mathrm{\Delta }$‍ empilhadas uma sobre a outra.

Agora selecionamos um dos $\mathrm{\Delta }$‍s para converter para um $\text{Y}$‍. Vamos realizar uma transformação $\mathrm{\Delta }\to \text{Y}$‍ e ver se isso resolve o impasse, abrindo novas oportunidades de simplificação.

Vamos trabalhar no $\mathrm{\Delta }$‍ inferior (uma escolha arbitrária). Com cuidado rotule os resistores e nós. Para chegar às respostas corretas a partir das equações de transformação, é essencial manter corretos os nomes dos resistores e nós. $Rc$‍ deve-se conectar entre $x$‍ e $y$‍, e assim por diante com os outros resistores. Consultem o Diagrama 1 acima para a convenção de nomenclatura.

Quando executamos a transformada no $\mathrm{\Delta }$‍ inferior, os resistores $\mathrm{\Delta }$‍ pretos serão substituídos pelos novos resistores $\text{Y}$‍ cinza, desta forma:

Faça a transformação você mesmo antes de procurar a resposta. Verifique se você selecionou o conjunto certo de equações.
Calcule os três valores de resistores para converter o $\mathrm{\Delta }$‍ em um $\text{Y}$‍, e desenhe o circuito completo

E eureka! Verifique nosso circuito. Ele agora possui resistores em série e em paralelo onde antes não havia nenhum. Continue a simplificação com as combinações série e paralelo até chegarmos a um único resistor entre os terminais. Redesenhe o esquema de novo para enquadrar os símbolos em um estilo familiar.

Prosseguimos com os passos restantes da simplificação da mesma forma como fizemos antes no artigo sobre Simplificação de Redes de Resistores.

No ramo esquerdo, $3,125+1,25=4,375\mathrm{\Omega }$‍

No ramo direito, $4+1=5\mathrm{\Omega }$‍

Os dois resistores em paralelo se combinam como $4,375||5={\displaystyle \frac{4,375\cdot 5}{4,375+5}}=2,33\mathrm{\Omega }$‍

E encerramos somando os dois resistores em série,

As transformações $\mathrm{\Delta }-\text{Y}$‍ são mais uma ferramenta em nossa cesta de truques para simplificar circuitos antes de uma análise detalhada.

Não memorize as equações de transformação. Se necessário, você pode procurá-las.