Exemplo resolvido: como usar a lei de velocidade integrada de primeira ordem e as equações de meia-vida

RKA4MP - Nós já vimos a conversão do ciclopropano para propeno e a gente viu que essa é uma reação de primeira ordem. E a gente também encontrou o valor da constante a 500 graus, que é de 6,7 vezes 10⁻⁴ 1 sobre segundos. Então, a letra a) quer saber que, se a concentração inicial de ciclopropano é de 0,05 molar, qual é a concentração após 30 minutos? Para encontrar essa concentração, nós podemos usar a lei integrada que nós já vimos em vídeos anteriores. Já que essa é uma reação de primeira ordem, ela integrada é: o logaritmo natural da concentração de "A" em um tempo "t", igual a menos a constante "k" vezes o tempo, mais o logaritmo natural da concentração inicial de "A". Concentração inicial de "A". Então, vamos adaptar essa lei à nossa situação. Vou pegar um pouquinho de espaço, aqui, e eu tenho o logaritmo natural da concentração de C₃H₆, do ciclopropano, então C₃H₆ vai ser igual a menos a constante, que é de 6,7 vezes 10⁻⁴, vou colocar isso aqui entre parênteses, e eu tenho, ainda, vezes o tempo. O tempo, o problema me deu em minutos, mas eu preciso transformar 30 minutos para segundos. Então, eu tenho aqui 30 minutos e eu sei que, em 1 minuto, eu tenho 60 segundos. Então, 60 segundos em 1 minuto. Os minutos vão se cancelar, e a gente só precisa multiplicar 30 por 60. Se você fizer essa continha, você vai ter 1.800 segundos, e a gente tem, ainda, mais o logaritmo natural da concentração inicial de C₃H₆ que é 0,05. Vamos pensar no que nós podemos fazer para resolver essa questão. A gente tem esse logaritmo natural aqui, e a gente pode exponenciar ambos os lados para se livrar desse logaritmo natural que a gente tem aqui. Então, se eu exponenciar ambos os lados e colocar o número de Euler, vou me livrar desse logaritmo natural. Isso nos deixaria com concentração de ciclopropano depois de 1.800 segundos. Vamos calcular isso, então. Vamos pegar a calculadora. E a gente vai fazer primeiro o lado direito. Então, vou fazer -6,7 vezes 10⁻⁴ e eu tenho que multiplicar por 1.800 e eu tenho, ainda, que somar com o logaritmo natural de 0,05. E eu vou ter -4,2017. Eu sei que o número de Euler é igual a 2,718 e eu vou elevar a -4,2017 e eu vou ter 0,0149. Eu vou arredondar isso aqui para 0,015. Então, eu tenho, vamos pegar um pouquinho de espaço aqui, que a concentração de C₃H₆ vai ser igual a 0,015 molar. Você não precisa usar essa forma da lei integrada para encontrar a velocidade, você poderia ter usado uma fórmula diferente, usado a concentração em função do tempo. Você poderia ter escrito... então, vamos pegar um pouquinho espaço aqui, e eu vou fazer em um outro tom de amarelo para diferenciar. Então, eu tenho que a concentração de C₃H₆ depois de um tempo "t" vai ser igual a concentração inicial de ciclopropano, então, C₃H₆, e isso aqui, tenho que multiplicar pelo número de Euler elevado a menos a constante vezes o tempo. Nós já vimos isso em vídeos anteriores, a concentração em função do tempo. Vamos colocar os nossos valores: a gente tem aqui a nossa concentração de ciclopropano depois de um tempo "t"; então, a gente vai ter a concentração inicial que é 0,05, e eu vou ter que multiplicar essa concentração pelo número de Euler elevado a -6,7 vezes 10⁻⁴, vezes o meu tempo em segundos, que é igual a 1.800. Então, vamos fazer essa continha. Vamos fazer por partes. Primeiro, vou fazer -6,7 vezes 10⁻⁴, vezes 1.800. E vou ter -1,206. Agora, eu tenho que elevar o meu número de Euler a esse valor que a gente encontrou. Então, eu sei que o valor do número de Euler é 2,718 e eu vou elevar a -1,206. Eu vou ter 0,299. E agora, tenho que multiplicar isso por 0,05. Então, vou fazer vezes 0,05 e eu vou ter, obviamente, 0,015 como a gente calculou anteriormente. Então, eu tenho que a minha concentração de ciclopropano vai ser igual 0,015 molar. Não importa como você faz o problema ou com qual equação você começa: você terá a resposta de 0,015 molar para a concentração de ciclopropano após 30 minutos. Quanto tempo leva para a concentração de ciclopropano chegar a 0,01 molar? Para alcançar 0.01 molar, mais uma vez, não importa qual forma você vai usar. Eu vou usar a primeira equação. Então, a gente tem aqui o logaritmo natural da concentração de A em um tempo "t", que vai ser igual a -k, que multiplica "t" mais o logaritmo natural da concentração A₀. Então, se a gente colocar os valores, a gente tem o logaritmo natural da nossa concentração final que a gente quer, que é 0,01 molar. Então, a gente tem 0,01, que vai ser igual a menos a constante, que é 6,7 vezes 10⁻⁴, que vai multiplicar o esse tempo, que eu quero descobrir, então, vezes o tempo, mais o logaritmo natural de 0,05. Se nós isolarmos o "t", a gente vai ter um logaritmo natural de 0,01 menos o logaritmo natural de 0,05, dividido por 6,7 vezes 10⁻⁴. Lembrando que isso aqui é negativo por causa desse sinal negativo que a gente viu aqui. Isso aqui vai ser igual a "t". Então, vamos calcular isso. Vamos pegar a calculadora e a gente vai fazer o logaritmo natural de 0,01 menos o logaritmo natural de 0,05. E a gente tem esse valor aqui. Agora, a gente tem que dividir pelo valor da constante. Então, se a gente dividir por -6,7 vezes 10⁻⁴, a gente vai ter 2.402 segundos. Então, se a gente marcar aqui, o nosso "t" vai ser igual a 2.402 segundos. Nós podemos deixar esse tempo em segundos, mas a gente pode colocar isso em minutos. Vamos ver quantos minutos então. Então, eu tenho 2.402 segundos e eu tenho em 1 minuto, 60 segundos. Então, aqui, eu tenho 60 segundos em 1 minuto, e, se a gente fizer essa continha na calculadora, bem rapidinho, a gente vai ter 2.402 dividido por 60. Nós vamos ter aproximadamente 40 minutos. Então, o nosso tempo em minutos vai ser igual a 40. A gente pode fazer que, isso aqui, é igual a 40 minutos. Esse é o tempo que nós levaríamos para alcançar a concentração de 0,01 molar. Por último, a letra c) quer saber qual é a meia-vida. No vídeo anterior, para uma reação de primeira ordem, a meia-vida então, a gente tem que a meia-vida vai ser igual a 0,693 dividido pelo valor da constante. Então, só preciso colocar os valores, só preciso fazer que isso aqui vai ser igual a 0,693 dividido por 6,7 vezes 10⁻⁴, que vai estar em 1 sobre segundos. Essa vai ser a minha unidade. Então, se a gente pegar a calculadora, vamos fazer 0,693 dividido por 6,7 vezes 10⁻⁴. Nós temos, então, 1.034 segundos. Então, a gente tem que a nossa meia-vida vai ser igual a 1.034 segundos. Se nós dividirmos esse valor por 60, então, vamos dividir isso aqui por 60, para encontrar o tempo em minutos, nós vamos ter aproximadamente 17 minutos. Vamos fazer aqui: ou, aproximadamente, 17 minutos. Lembre-se do vídeo anterior que se refere à meia-vida. Se nós começamos, então, vamos marcar 0,05 molar e a gente espera 17 minutos, a gente vai chegar na concentração 0,025. Ou seja, a gente vai chegar em metade da nossa concentração. E quanto tempo leva para eu chegar em 0,0125? Quanto tempo leva? Bom, vai me levar mais 17 minutos. Então, eu tenho aqui mais 17 minutos, e eu vou chegar nessa concentração.