conforme a tangente, seno e cosseno diminuem as suas inversas vão para o infinito, isso é legal.

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Curso: Trigonometria > Unidade 4

Lição 5: Uso de identidades trigonométricas

Referência de identidade trigonométrica

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Procure E entenda todas as suas identidades trigonométricas favoritas

Identidades recíprocas e de quociente

\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)}

Brinque com o ponto no círculo trigonométrico para ver como o cosseno e a secante mudam juntos. Perceba que quando o cosseno é pequeno, a secante é grande e vice versa. Acontece que a multiplicação dos dois dá sempre exatamente

1

Nós também podemos ver essa identidade usando triângulos semelhantes. Deslize o ponto abaixo do gráfico para ver um triângulo se transformando no outro. Observe com cuidado para ver quais segmentos correspondem uns aos outros.

cossec (θ) = \frac{1}{sen (θ)}

Brinque com o ponto no círculo trigonométrico para ver como seno e cossecante variam juntos. Perceba que quando o seno é pequeno, a cossecante é grande e vice versa. Acontece que a multiplicação dos dois dá sempre exatamente

1

cotg (θ) = \frac{1}{tg (θ)}

Brinque com o ponto no círculo trigonométrico para ver como a tangente e a cotangente mudam juntas. Observe que quando a tangente é pequena, a cotangente é grande e vice versa. Acontece que a multiplicação das duas dá sempre

1

tg (θ) = \frac{sen (θ)}{\cos (θ)}

cotg (θ) = \frac{\cos (θ)}{sen (θ)}

Identidades pitagóricas

{sen}^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1^{2}

{tg}^{2} (θ) + 1^{2} = \sec^{2} (θ)

{cotg}^{2} (θ) + 1^{2} = {cossec}^{2} (θ)

Identidades que vêm de somas, subtrações, multiplicações e frações de ângulos

Esses são todos parentes próximos, mas vamos examinar cada tipo.

Identidades de somas e subtrações de ângulos

\begin{aligned} sen (θ + ϕ) & = sen θ \cos ϕ + \cos θ sen ϕ \\ sen (θ - ϕ) & = sen θ \cos ϕ - \cos θ sen ϕ \\ \cos (θ + ϕ) & = \cos θ \cos ϕ - sen θ sen ϕ \\ \cos (θ - ϕ) & = \cos θ \cos ϕ + sen θ sen ϕ \end{aligned}

A figura abaixo mostra uma maneira de provar a identidade da soma dos ângulos. Os lados esquerdo e direito do retângulo são iguais, nos dando:

sen (θ + ϕ) = sen θ \cos ϕ + \cos θ sen ϕ

O lado de cima e de baixo também são iguais, nos dando:

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - sen θ sen ϕ

É mais fácil entender esse diagrama se você começar com o triângulo retângulo no meio do diagrama e ir expandindo usando as definições das funções trigonométricas do triângulo direito (COHI CAHI COCA).

Um diagrama similar pode mostrar as identidades da subtração dos ângulos. Você consegue desenhar um?

(Tecnicamente, isso não é uma prova para todos os valores de

θ

ϕ

, mas identidades se aplicam a todos os valores.)

\begin{aligned} tg (θ + ϕ) & = \frac{tg θ + tg ϕ}{1 - tg θ tg ϕ} \\ tg (θ - ϕ) & = \frac{tg θ - tg ϕ}{1 + tg θ tg ϕ} \end{aligned}

Podemos derivar a tangente de uma soma usando o seno e o cosseno das identidades de uma soma.

\begin{aligned} tg (ϕ + θ) & = \frac{sen (ϕ + θ)}{\cos (ϕ + θ)} \\ = \frac{sen (ϕ) \cos (θ) + \cos (ϕ) sen (θ)}{\cos (ϕ) \cos (θ) - sen (ϕ) sen (θ)} \\ = \frac{(\frac{sen (ϕ) \cos (θ) + \cos (ϕ) sen (θ)}{\cos (ϕ) \cos (θ)})}{(\frac{\cos (ϕ) \cos (θ) - sen (ϕ) sen (θ)}{\cos (ϕ) \cos (θ)})} \\ = \frac{tg (ϕ) + tg (θ)}{1 - tg (ϕ) tg (θ))} \end{aligned}

Podemos calcular a diferença dos ângulos simplesmente adicionando a medida de um ângulo negativo.

\begin{aligned} tg (ϕ - θ) & = \frac{tg (ϕ) + tg (- θ)}{1 - tg (ϕ) tg (- θ)} \\ = \frac{tg (ϕ) - tg (θ)}{1 + tg (ϕ) tg (θ)} \end{aligned}

Identidades de arco duplo

sen (2 θ) = 2 sen θ \cos θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

Nós também podemos obter isso da identidade da soma dos ângulos, mas precisamos fazer uma manipulação adicional.

Primeiro, vamos deixar os dois ângulos iguais.

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - sen θ sen ϕ

\cos (θ + θ) = \cos θ \cos θ - sen θ sen θ

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - {sen}^{2} θ

Agora, nós podemos usar a identidade

{sen}^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

para que o lado direito fique em função apenas de cossenos.

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - (1 - \cos^{2} θ)

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - 1 + \cos^{2} θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

tg (2 θ) = \frac{2 tg θ}{1 - {tg}^{2} θ}

Identidades do arco metade

\begin{aligned} sen \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}} \\ \cos \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos θ}{2}} \\ tg \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}} \\ = \frac{1 - \cos θ}{sen θ} \\ = \frac{sen θ}{1 + \cos θ} \end{aligned}

Simetria e identidade de periodicidade

sen (- θ) = - sen (θ)

\cos (- θ) = + \cos (θ)

tg (- θ) = - tg (θ)

\begin{aligned} sen (θ + 2 π) & = sen (θ) \\ \cos (θ + 2 π) & = \cos (θ) \\ tg (θ + π) & = tg (θ) \end{aligned}

Identidades de cofunções

\begin{aligned} sen θ & = \cos (\frac{π}{2} - θ) \\ \cos θ & = sen (\frac{π}{2} - θ) \\ tg θ & = cotg (\frac{π}{2} - θ) \\ cotg θ & = tg (\frac{π}{2} - θ) \\ \sec θ & = cossec (\frac{π}{2} - θ) \\ cossec θ & = \sec (\frac{π}{2} - θ) \end{aligned}

Apêndice: todas as proporções trigonométricas no círculo unitário

Use o ponto móvel para ver como os comprimentos das proporções mudam de acordo com o ângulo.

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Mateus Luiz Arruda
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “conforme a tangente, seno...” de Mateus Luiz Arruda
conforme a tangente, seno e cosseno diminuem as suas inversas vão para o infinito, isso é legal.
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Resposta
- phelipi de godoy nogueira
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “essa forma de visualizar ...” de phelipi de godoy nogueira
  essa forma de visualizar é incrível... ainda da pra melhorar mais ta muito legal de visualizar(sempre criticamos achei melhor elogiar)
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