Construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida (utilizando software) | Parte I

RKA12 Olá! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo para mais uma vídeoaula de matemática. E o assunto da vez é polígonos regulares. Bom, o que nós vamos fazer aqui é construir alguns polígonos regulares. Então, nós vamos fazer a construção de polígonos regulares utilizando software, que é o software "Geogebra". O Geogebra é um software livre. Eu vou colocar o link para você. Você pode entrar neste link, e fazer o download. É totalmente grátis. Bom, a nossa ideia aqui é a seguinte: a partir de uma certa medida para o lado, por exemplo, 5 centímetros... então, a partir desta medida que foi dada de 5 centímetros, eu quero construir um triângulo equilátero, um quadrado e um hexágono regular, todos eles com 5 centímetros de lado. Então, nós vamos abrir o Geogebra e começar esta construção. Vamos lá! A versão que eu estou usando aqui do Geogebra é o Geogebra Classic (versão 6). Se não me engano é de 2017 (novembro de 2017). Aqui, nós temos as principais ferramentas do Geogebra. Aqui, nós vamos ter uma janelinha onde vão aparecer as construções que a gente for realizando: pontos, segmentos de reta, ângulos. Enfim, tudo o que a gente construir vai aparecer do lado de cá. Aqui vai ficar o nosso desenho, e aqui eu tenho um espaço para fazer um comando de entrada. Aqui eu posso colocar entradas diretas para fazer o desenho. Vou voltar aqui a tela um pouquinho, só para a gente colocar um passo a passo aqui, ou uma sequência. Isto aqui chama algoritmo. É uma sequência de passos que você vai dar para fazer a construção. Então, eu vou deixar esta colinha aqui para a gente ir dando uma olhada nela, para a gente ver o que a gente vai fazer. Então, vamos lá! Voltando para o Geogebra, a primeira coisa é marcar um ponto: o ponto A (o vértice do negócio). Então, eu vou escolher aqui a ferramenta "Ponto", vou vir aqui e vou escolher onde eu quero colocar o ponto A. Eu vou colocar o ponto A por aqui. Então, está aí o ponto A. Bom, o que eu vou fazer? Agora, eu vou criar um segmento de 5 unidades. Então, como eu quero que o meu polígono tenha 5 unidades (5 centímetros, no caso, por exemplo), eu vou vir aqui e vou procurar a ferramenta "Segmento com Comprimento Fixo", vou clicar aqui no ponto A, e vou informar para o Geogebra que eu quero 5 de comprimento. Então, ele já criou aqui. O segmento ficou apagadinho. Está vendo que a cor dele aqui é uma cor escura? Então, no fundo preto, não está destacando. Então, eu vou mudar esta cor aqui por uma cor mais destacada. Além disso, também vou vir aqui e vou mudar: em vez de aparecer o nome, eu quero que apareça o valor. Então, aqui, vai ficar aparecendo 5. Este segmento aqui do A até o B tem 5 de comprimento. Tudo bem? Bom, o próximo passo que a gente vai fazer é o seguinte: nós vamos construir uma circunferência de raio 5 (raio 5 justamente porque o lado aqui mede 5) e centrada em A. Então, eu vou vir aqui e vou pegar... (tem várias maneiras fazer isso)... eu vou pegar aqui a ferramenta "Compasso". A ferramenta "Compasso" funciona assim: eu vou dizer para ela primeiro qual é o raio que eu quero. Então, o raio que eu quero tem que ter, do A até o B, 5 de distância. Este é o raio. Agora, eu vou colocar o centro onde? Eu quero o centro em A. Então, ele desenhou esta circunferência. Ela também aqui está apagadinha. Vamos trocar a cor dela, colocar uma cor mais clara. Eu vou colocar, por exemplo, esta daqui para dar um destaque. É um pouco mais amareladinha. Eu vou trocar o estilo dela também. Vou colocar os pontos mais tracejadinhos para não ficar chamando tanto a nossa atenção assim. Então, aqui está a circunferência. Já vamos tirar este rótulo dela. Eu não quero que apareça o rótulo. Então, vai ficar aqui esta circunferência, e ela tem centro A e tem raio 5. Agora, o próximo passo é construir uma circunferência de raio 5, só que centrada em B. Então, eu vou fazer a mesma coisa. Eu vou pegar aqui o compasso. Vou colocar aqui de A até B, para dizer que o raio é 5, e vou colocar o centro aqui no B. Então, ele também traçou a circunferência. Eu vou mudar a cor dela aqui agora. Vamos vir aqui escolher outra cor. Vamos colocar uma cor mais clara. Vou colocar um pouquinho mais esverdeado. Vou colocar o estilo dela também de bolinhas aqui, para deixar deste jeito. Então, a que está aqui é a outra circunferência. Já vamos tirar o rótulo dela também, para não ficar exibindo o nome. Então, aqui nós temos as duas circunferências. E o próximo passo é o seguinte: identificar o ponto C, que é a intersecção destas duas circunferências. Então, aqui ou aqui eu tenho a intersecção destas duas circunferências. Então, aqui eu tenho um ponto. Aqui eu tenho outro ponto, que é o encontro destas duas circunferências. Este ponto é importante para a gente, então a gente vai identificá-lo. Eu vou pegar "Ponto", e vou colocá-lo aqui no meio das duas. Então, aqui está o ponto C. Este ponto C também ficou um pouquinho difícil de enxergar. Vamos colocar uma cor mais destacante. Vou colocar aqui um azul mais clarinho e ele vai dar um destaque. Então, está ali o ponto C. Este seria o meu terceiro vértice do triângulo, beleza? Então, o que tem de legal? O legal é que, como o C está nesta circunferência aqui, que está centrada em B, ele tem 5 de distância do B. Como o C também está nesta circunferência aqui, que está centrada em A, ele também tem 5 de distância do A. Logo, quando eu fizer aqui o segmento AC e o segmento BC, estes dois segmentos, que estão escurinhos aqui... vamos mudar a cor deles aqui. Escolhi estes dois caras aqui para a gente fazer. Então, vamos trocar a cor destes caras. Vou colocá-los clarinhos aqui, de um rosinha mais claro. Vamos trocar também aqui. Em vez de aparecer nome, vamos colocar valor. E, aí, a gente vai ter o triângulo equilátero. É um triângulo ABC. Os vértices A, B e C, e os lados todos valendo 5 de comprimento. Tudo bem? Então, esta daí é a construção do triângulo. Você pode até tirar o círculo aqui agora e ficar só com o triângulo construído. Então, a gente construiu um triângulo regular, um triângulo equilátero, com 5 de comprimento. Agora, nós vamos passar para a construção do quadrado. Então, bora lá fazer o quadrado agora! Vamos voltar aqui na tela, então, e vamos tirar agora este algoritmo aqui do triângulo, e vamos colocar o algoritmo do quadrado. Então, vamos colocar o passo a passo para construir o quadrado. Voltando ao Geogebra, nós vamos seguir agora aqui as instruções. Então, aqui, eu vou dizer o seguinte... (deixe-me jogar o Geogebra um pouquinho para cá)... primeira coisa, nós vamos marcar um ponto A. Então, vamos lá! Vamos escolher o ponto e vamos marcá-lo. Então, eu vou colocá-lo por aqui. É o ponto A. E, depois, nós vamos traçar um segmento de 5 unidades. Então, eu vou procurar "Segmento com Comprimento Fixo", vou clicar no ponto A, e vou informar que eu quero 5 de tamanho. De novo, o comprimento ficou escuro (a cor). Eu vou trocar por uma cor mais clara. E já vou colocar o valor dele, em vez de colocar o nome para ficar aparecendo. Então, aqui, o segmento AB de 5 de comprimento. Próximo passo: traçar a perpendicular ao lado que passa por A. Então, perpendicular ao lado AB, e que passa por A. Então, eu vou procurar aqui "Reta Perpendicular". Então, eu vou colocar que ela é perpendicular a AB e tem que passar em cima do A. Então, ela já foi criada aqui, entretanto ela está com uma cor não muito de destaque. Eu vou colocar uma cor bem clarinha para ela. Vamos colocar esta amarelinha aqui. E já vamos colocar um tracejadinho aqui para ela ficar bem fraquinha, para não ficar destacando muito também. Então, está aí a nossa perpendicular aqui que passa em A e ela é perpendicular a AB. Agora, o que nós vamos fazer? Já vou tirar o rótulo dela também para não ficar aparecendo esta letra "g". Bom, o próximo passo diz para a gente traçar a circunferência de raio 5 e centro A. Então, eu vou pegar o compasso, vou dizer que o raio vai ser, de A até B, 5, e eu vou dizer que o centro é em A. Então, aqui eu tenho a circunferência. Deixe-me dar uma mudada na cor dela também. Vou trocar por uma cor mais clara. Vou colocar uma cor clarinha aqui para ela. Vamos mudar o estilo dela também. Vou colocar aqui o estilo dela tracejadinho. Então, está aí a nossa circunferência. Ela tem centro A e raio 5. Tudo bem? E, agora, nós vamos marcar o ponto C, que é de intersecção da perpendicular com a circunferência. Então, aqui, o ponto C. O ponto C está aqui na intersecção da perpendicular com a circunferência. Este ponto C aqui, que também está um pouquinho escuro, eu vou melhorar um pouquinho a cor dele para ele ficar mais destacado. Vamos colocar uma cor bem clara aqui. Está aqui uma cor mais adequada para o C. Então, aqui, eu já tenho um outro lado em que eu posso fazer um segmento, consigo fazer o segmento aqui de A até C. Então, este segmento que eu acabei de criar está meio escurinho aqui. Eu já vou colocá-lo de uma cor mais clara (esta cor aqui que eu escolhi na outra) e vou colocar para aparecer valor, em vez de nome. Então, está aí. Então, eu já tenho dois lados do nosso quadrado. Agora, continuando, nós vamos traçar duas circunferências de raio 5 e centros em B e C. Então, vamos traçar duas circunferências. As duas de raio 5 e centros em B e C. Então, vamos lá! Eu vou pegar o compasso. Bom, o raio é 5, então o raio vai ser de A até B; só que o centro vai ser em C. Então, está aí a nossa circunferência. Ela também está fraquinha. Vamos colocar aqui uma cor mais agradável para ela. Vamos colocar esta daqui. E vamos colocá-la também um pouquinho mais discreta. Então, está aí a nossa circunferência. Ela está [com] raio 5, centrada no ponto C. [Para] o próximo, a gente vai fazer a mesma coisa. Agora, só que concentrada no ponto B. Está aqui o ponto B. Então, vamos lá! Vamos fazer o "Compasso". O raio é 5, então é do A até o B o raio. E eu quero o centro no B. Pronto! Já criei esta próxima circunferência. Basta eu destacar a cor dela aqui agora. Vamos destacar. Vamos pegar uma cor bem clara também. Vamos pegar esta daqui mais amareladinha. Vamos colocar aqui o estilo dela o mais discreto possível. Então, eu vou fazer assim. Pronto! Beleza! Então, agora, eu tenho esta circunferência aqui que é centrada no ponto B e tem raio 5. E, aí, nós vamos marcar o ponto D, que é a intersecção das circunferências. Então, estas duas circunferências aqui: esta circunferência aqui que está centrada no A, e esta circun... ou melhor, esta circunferência aqui que está centrada no ponto C, e esta circunferência aqui que está centrada no ponto B, eu vou marcar a intersecção entre elas que é o ponto D, que está aqui. Este vai ser o meu ponto D. Vamos melhorar o ponto D. Vamos dar uma destacada nele. Vou colocar uma cor mais viva, mais chamativa. Vou colocar esta cor aqui. Então, aqui está o ponto D. Então, repare que o ponto D está a mesma distância do B, que são 5 de comprimento, e está a mesma distância do C, que é 5 de comprimento. Então, basta agora eu criar os segmentos aqui e já terminamos o problema. O C vai ligar no D e o D vai ligar no B. Tudo bem? Agora, vamos dar uma destacada nestes dois segmentos, por fim, que eu criei (este e este). Vou colocar uma cor mais de destaque para eles, mais clara. E já vamos colocar para aparecer o valor em vez do nome. E, aí, está aí o nosso quadrado ABCD de lado 5. Vou tirar a circunferência daqui agora para você enxergar só ele. Então, está aí o quadrado ABCD de lado 5. E esse aí foi o passo a passo que a gente seguiu para construir este quadrado no Geogebra. Ficou faltando, então, agora o triângulo... ou melhor, o hexágono regular. A gente já fez o triângulo equilátero, já fez o quadrado, vamos fazer agora o hexágono regular. Bora lá!