quanto q ta a paçoca

aqui ta 1 real em presidente venceslau na cantina da escola, mas nos mercadinho da cidade ta 25 centavos. observação: a pacoca pequena, nao de rolha. Governo ruim né nao?kkkk

kamilinha mais linda do jalem papai vando muito lindo careca raspada cheirosa tia vadinha cozinha mt bem a galinha dela e gostosa fellipe meu amor

para de usar droga, não ta batendo só a brisa não

θ qual o nome e qual a origem desse símbolo?E desse ψ?

Teta e Psi, respectivamente, são letras do alfabeto grego

Conteúdo principal

Curso: Matemática EF: 9º Ano > Unidade 5

Lição 4: Ângulos inscritos

Prova do teorema do ângulo inscrito

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Como demonstrar que um ângulo inscrito é metade de um ângulo central que subtende o mesmo arco.

Primeiros passos

Antes de começarmos a falar sobre a demonstração, vamos garantir que entendemos alguns termos sofisticados relacionados às circunferências.

Confira uma rápida atividade de combinar para ver se você consegue descobrir os termos sozinho:

Usando a imagem, faça a combinação das variáveis com os termos.

1

Um ângulo é um

ângulo central

quando seu vértice é o centro da circunferência, como o ângulo

θ

mostrado na imagem.

Um ângulo é um

ângulo inscrito

quando seu vértice está sobre a circunferência, como o ângulo

ψ

mostrado na imagem.

Os raios dos ângulos inscrito e central interceptam parte da circunferência. Chamamos essa parte da circunferência de

o arco interceptado

Bom trabalho! Vamos usar esses termos em todo o resto do artigo.

O que vamos demonstrar

Estamos prestes a demonstrar que algo muito legal acontece quando um ângulo inscrito

(ψ)

e um ângulo central

(θ)

interceptam o mesmo arco: a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.

θ = 2 ψ

Visão geral da demonstração

Para demonstrar que

θ = 2 ψ

para todos os

θ

ψ

(como definidos acima), devemos considerar três casos separados:

Caso A	Caso B	Caso C

Juntos, esses casos abrangem todas as situações possíveis em que um ângulo inscrito e um ângulo central interceptam o mesmo arco.

Caso A: o diâmetro está ao longo de um raio do ângulo inscrito, $ψ$ ‍.

Etapa 1: encontrar o triângulo isósceles.

Os segmentos

\overset{―}{B C}

\overset{―}{B D}

são ambos raios, então eles têm o mesmo comprimento. Isso significa que o

△ C B D

é isósceles, o que também significa que os ângulos de sua base são congruentes:

m ∠ C = m ∠ D = ψ

Etapa 2: encontrar o ângulo raso.

O ângulo

∠ A B C

é um ângulo raso, então

\begin{aligned} θ + m ∠ D B C & = 180^{\circ} \\ m ∠ D B C & = 180^{\circ} - θ \end{aligned}

Etapa 3: escrever uma equação e calcular $ψ$ ‍.

Os ângulos internos do

△ C B D

são

ψ

ψ

(180^{\circ} - θ)

, e sabemos que os ângulos internos de qualquer triângulo somam

180^{\circ}

\begin{aligned} ψ + ψ + (180^{\circ} - θ) & = 180^{\circ} \\ 2 ψ + 180^{\circ} - θ & = 180^{\circ} \\ 2 ψ - θ & = 0 \\ 2 ψ & = θ \end{aligned}

Legal. Finalizamos nossa demonstração do Caso A. Só faltam mais dois casos!

Caso B: o diâmetro está entre os raios do ângulo inscrito, $ψ$ ‍.

Etapa 1: ser esperto e desenhar o diâmetro

Usando o diâmetro, vamos dividir

ψ

ψ_{1}

ψ_{2}

θ

θ_{1}

θ_{2}

, assim:

Etapa 2: usar o que aprendemos com o Caso A para estabelecer duas equações.

Em nosso novo diagrama, o diâmetro divide a circunferência em duas metades. Cada metade tem um ângulo inscrito com um raio sobre o diâmetro. Essa é a mesma situação que no Caso A, então sabemos que

(1) θ_{1} = 2 ψ_{1}

(2) θ_{2} = 2 ψ_{2}

porque aprendemos isso no Caso A.

Etapa 3: somar as equações.

\begin{aligned} θ_{1} + θ_{2} & = 2 ψ_{1} + 2 ψ_{2} & Some (1) e (2) \\ (θ_{1} + θ_{2}) & = 2 (ψ_{1} + ψ_{2}) & Agrupe as variáveis \\ θ & = 2 ψ & θ = θ_{1} + θ_{2} e ψ = ψ_{1} + ψ_{2} \end{aligned}

O Caso B está finalizado. Falta só um!

Caso C: o diâmetro está fora dos raios do ângulo inscrito.

Etapa 1: ser esperto e desenhar o diâmetro

Usando o diâmetro, vamos criar dois novos ângulos:

θ_{2}

ψ_{2}

, assim:

Etapa 2: usar o que aprendemos com o Caso A para estabelecer duas equações.

De modo similar ao que fizemos no Caso B, criamos um diagrama que nos permite usar o que aprendemos no Caso A. Com base nesse diagrama, sabemos o seguinte:

(1) θ_{2} = 2 ψ_{2}

(2) (θ_{2} + θ) = 2 (ψ_{2} + ψ)

Etapa 3: substituir e simplificar.

\begin{aligned} (θ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & (2) \\ (2 ψ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & θ_{2} = 2 ψ_{2} \\ 2 ψ_{2} + θ & = 2 ψ_{2} + 2 ψ \\ θ & = 2 ψ \end{aligned}

Pronto! Demonstramos que

θ = 2 ψ

em todos os três casos.

Um resumo do que fizemos

Propusemo-nos a demonstrar que a medida de um ângulo central é o dobro da medida de um ângulo inscrito quando os dois ângulos interceptam o mesmo arco.

Começamos a demonstração estabelecendo três casos. Juntos, esses casos abrangem todas as situações possíveis em que um ângulo inscrito e um ângulo central interceptam o mesmo arco.

Caso A	Caso B	Caso C

No caso A, identificamos um triângulo isósceles e um ângulo raso. A partir disso, elaboramos algumas equações usando

ψ

θ

. Com um pouco de álgebra, demonstramos que

θ = 2 ψ

Nos casos B e C, inteligentemente introduzimos o diâmetro:

Caso B	Caso C

Isso tornou possível usar nosso resultado do Caso A, e foi o que fizemos. Nos casos B e C, escrevemos equações relacionadas às variáveis nas figuras, o que só foi possível graças ao que aprendemos no Caso A. Depois de estabelecermos nossas equações, usamos álgebra para mostrar que