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Curso: Pré-cálculo > Unidade 2
Lição 10: Uso de identidades trigonométricas- Cálculo de valores trigonométricos a partir de identidades de soma de ângulos
- Uso da identidade da tangente da soma de ângulos
- Calcule valores trigonométricos a partir de identidades de soma de ângulos
- Uso de identidades trigonométricas de soma de ângulos: cálculo das medidas dos lados
- Uso de identidades trigonométricas de soma de ângulos: manipulação de expressões
- Uso de identidades trigonométricas
- Referência de identidade trigonométrica
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Cálculo de valores trigonométricos a partir de identidades de soma de ângulos
Neste vídeo, calculamos o valor de sen(7π/12) reescrevendo-o como sen(π/3+π/4) e usando a fórmula do seno da soma de ângulos. Versão original criada por Sal Khan.
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- Bah, resolvi de maneira diferente! Separei nos ângulos 90 e 30 (pi e pi/6). Assim, como o cosseno de 90 = 0, a fórmula da identidade seno ficava bem mais fácil e demonstrava que sin (a + b), quando b = 90, é igual a 1 x cos (30) = cos(30), demonstrando basicamente o argumento apontado no início do vídeo. Recomendo você tentar descobrir isso :)
P.s.: acho que seria interessante se demonstrassem isso em vídeos! A decomposição utilizando o ângulo de 90 facilita muito os cálculos, pois cos(90)=0 e sin(90)=1!
EDIT: depois de muito tempo, após um comentário aqui, notei que apesar de poder ser um método efetivo às vezes, esta resolução do exercício do vídeo está ERRADA.(3 votos)
Transcrição de vídeo
RKA - O que vamos tentar fazer no vídeo de hoje
é achar o valor do seno de 7 pi (π) sobre 12, sem a ajuda da calculadora. Para isso, vamos pegar aqui
o nosso círculo unitário. Um dos raios deste ângulo
vai estar aqui sobre o eixo "x". E o outro raio,
a gente pode pensar o seguinte: até este ponto aqui, que coincide com o eixo "y", é o ângulo π sobre 2, que é a mesma coisa que 6π sobre 12. Como a gente quer o ângulo 7π sobre 12,
vai ser pouca coisa maior que isso. Então a gente pode dizer
que vai estar mais ou menos aqui. Vamos pegar então este ângulo
como sendo o ângulo 7π sobre 12. A gente também pode projetar
o raio em relação ao eixo "y". A gente sabe que também
podemos considerar este comprimento aqui, o comprimento deste segmento
como sendo o seno de 7π sobre 12. E é isso que a gente quer descobrir. Eu proponho que você pause o vídeo e use todos os seus conhecimentos
sobre trigonometria para tentar fazer isso sozinho. Descobrir o seno de 7π sobre 12 é basicamente
o comprimento deste segmento cor de rosa. Supondo que você
tenha tentado solucionar o problema, imagino que, assim como eu, você se concentrou em relação
a este triângulo retângulo que a gente formou aqui. Vamos colocar ele aqui. Este aqui é o lado que nós estamos tentando descobrir, que vale seno de 7π sobre 12. A gente tem o outro lado do triângulo bem aqui. E aqui a gente forma o nosso triângulo retângulo. A gente sabe que esta hipotenusa vale 1,
e este ângulo aqui é este pedacinho aqui. Se tudo vale 7π sobre 12,
e até aqui nós temos 6π sobre 12, este ângulo aqui de dentro,
eu sei que vale π sobre 12. E, de alguma forma, eu posso tentar relacionar estes dois lados usando alguma relação trigonométrica já estudada. Até porque este lado cor de rosa
que a gente quer descobrir é o lado adjacente ao ângulo
que a gente sabe quanto vale. Quando a gente observa que este lado
é o adjacente ao ângulo π sobre 12, a gente conclui: já que a hipotenusa vale 1,
que ele é o cosseno de π sobre 12. E aí a gente tem a informação, então, que o seno
de 7π sobre 12 é igual ao cosseno de π sobre 12. Mas realmente isso não ajuda muito, porque a gente não consegue calcular sem a ajuda
de uma calculadora o cosseno de π sobre 12. Então, ao invés de irmos por esse caminho,
vamos tentar outra coisa. Vamos tentar decompor
este ângulo em alguns outros ângulos. E que nós saibamos o valor desses outros ângulos
do seno e do cosseno. E que ângulos são esses? Esses são ângulos especiais
de triângulos retângulo. Um triângulo retângulo bem conhecido,
por exemplo, é o triângulo 30-60-90. Vamos desenhá-lo aqui, por exemplo. Aqui a gente vai ter o triângulo, vamos desenhá-lo. Bom, só que ao invés de usarmos graus, como a gente está trabalhando com π radianos,
vamos usar π radianos. O ângulo aqui que seria de 30 graus,
eu sei que é π sobre 6. O ângulo que seria de 60 graus,
eu vou escrever π sobre 3, e obviamente que esse aqui
vai ser o ângulo reto. Se a hipotenusa vale 1, o lado oposto ao ângulo
que vale 30 graus, eu sei que vale 1 sobre 2. E o lado oposto ao ângulo que vale 60 graus,
ou π sobre 3 radiano, eu sei que vale raiz de 3 sobre 2. Este nosso triângulo já foi usado anteriormente
para a gente descobrir o seno e o cosseno de 30 e 60, ou melhor, de π sobre 6 radianos
e π sobre 3 radianos. Ou seja, estes dois ângulos, para nós,
são ângulos conhecidos. Outro tipo de triângulo que a gente também já estudou,
é o triângulo retângulo isósceles, aquele que possui dois lados congruentes. Por exemplo, este triângulo aqui, onde eu vou colocar este lado aqui congruente
com o mesmo comprimento que este aqui. Então eu digo que aqui vale 90 graus,
e como estes dois lados são congruentes, estes dois ângulos possuem o mesmo valor,
no caso, 45 graus, ou π sobre 4 radianos. Então aqui vale π sobre 4 radianos,
e aqui também vale π sobre 4 radianos. Considerando que esta hipotenusa vale 1, vendo a definição do teorema de Pitágoras,
que cada um destes lados vai valer raiz de 2 sobre 2. Na verdade ele vale
raiz de 2 sobre 2 vezes a hipotenusa. Como no nosso exemplo a hipotenusa vale 1, um destes lados vai valer apenas raiz de 2 sobre 2. Então eu posso, usando as definições clássicas de triângulo retângulo, ou as definições de SOH-CAH-TOA, ou colocando cada um destes ângulos
aqui no círculo unitário e usando as definições
de funções trigonométricas no círculo unitário, achar o seno, o cosseno e a tangente também de cada um destes ângulos, por isso eles são conhecidos. O que temos que fazer aqui é decompor 7π sobre 12,
usando π sobre 6, π sobre 3 e π sobre 4. Para facilitar o nosso raciocínio, vamos colocar
todos estes ângulos com o denominador 12. Então se quisermos escrever π sobre 6 usando o denominador 12, é a mesma coisa escrever 2π sobre 12. π sobre 4 usando o denominador 12,
é a mesma coisa que escrevermos 3π sobre 12. E π sobre 3 usando o denominador 12,
é a mesma coisa que escrevermos 4π sobre 12. O que nós temos que fazer? Se somarmos 2π sobre 12
com 4π sobre 12, não chegaremos a 7π sobre 12,
muito menos 2π sobre 12 com 3π sobre 12. Porém, se usarmos 3π sobre 12 e 4π sobre 12,
chegaremos em 7π sobre 12. Então o que vamos escrever agora
é seno de 7π sobre 12 como sendo a soma de: seno de 3π sobre 12 + 4π sobre 12. Bom, também sabemos que 3π sobre 12
pode ser escrito como π sobre 4, então π sobre 4 mais... 4π sobre 12,
podemos escrever como sendo π sobre 3. E agora vamos utilizar a fórmula do seno da soma
de dois ângulos para poder calcular isso. Bem, vamos desenvolver, então, a fórmula do seno
da soma de dois ângulos para poder calcular isto aqui. Isto a gente pode falar que é igual a: sen.(π sobre 4) vezes cos.(π sobre 3) + cos.(π sobre 4) vezes o sen.(π sobre 3). Agora vamos analisar para ver
qual o valor de cada uma destas funções. Bem, então vamos descobrir
quanto vale cada um destes valores aqui. O seno de π sobre 4,
quanto será que vale? Aqui está π sobre 4. Seno de π sobre 4,
vai ser o lado oposto em relação a π sobre 4. Então em relação a π sobre 4,
nós temos este lado aqui, que vale raiz de 2 sobre 2, é o lado oposto sobre a hipotenusa, como a hipotenusa vale 1,
o seno vai ser só este valor aqui. Então o seno de π sobre 4
vale raiz de 2 sobre 2. Cosseno de π sobre 3.
E sobre 3 está aqui. Para a gente achar o cosseno de π sobre 3, a gente só tem que saber que cosseno é o valor adjacente, o lado adjacente sobre a hipotenusa. Como a hipotenusa vale 1, e o lado adjacente vale 1/2,
o cosseno de π sobre 3 vai valer 1/2. Cosseno de π sobre 4.
Aqui está π sobre 4. O lado adjacente está aqui
sobre a hipotenusa que vale 1. Então o cosseno de π sobre 4
vai ser raiz de 2 sobre 2. E, finalmente, o seno de π sobre 3. Aqui está π sobre 3,
e o seno é o lado oposto sobre a hipotenusa. A hipotenusa vale 1,
o lado oposto é raiz de 3 sobre 2. Então, o seno de π sobre 3
vai ser a raiz de 3 sobre 2. E agora o que temos que fazer é
multiplicar todo mundo e depois somar. Vamos primeiro resolver esta multiplicação. Esta multiplicação aqui
é igual à raiz de 2 sobre 4 mais... esta outra multiplicação aqui podemos dizer
que vale raiz de 6 sobre 4. Então tudo isso aqui
nós podemos dizer que é igual à raiz de 2 + raiz de 6,
tudo isso sobre 4. E finalmente chegamos no resultado
que queríamos. Seno de 7π sobre 12, ou até o cosseno de π sobre 12
é igual à (raiz de 2 + raiz de 6) sobre 4. Até um próximo vídeo!