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Curso: Pré-álgebra > Unidade 15

Lição 3: Solução de sistemas por substituição

Sistemas de equações com substituição

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Veja exemplos de como resolver sistemas de equações com a substituição.

Vamos trabalhar para resolver este sistema de equações:

$y = 2 x Equação 1$ ‍

$x + y = 24 Equação 2$ ‍

O que pode complicar é que há duas variáveis,

x

y

. Se pudéssemos nos livrar de uma delas...

Tenho uma ideia! A equação

1

nos diz que

2 x

y

são iguais. Então vamos substituir

y

por

2 x

na Equação

2

para eliminar a variável

y

dessa equação:

$\begin{aligned} x + y & = 24 & Equação 2 \\ x + 2 x & = 24 & Substitua y por 2x \end{aligned}$ ‍

Brilhante! Agora temos uma equação com apenas a variável

x

, que sabemos como resolver:

$\begin{aligned} x + 2 x & = 24 \\ 3 x & = 24 \\ \frac{3 x}{3} & = \frac{24}{3} & Divida cada lado por 3 \\ x & = 8 \end{aligned}$ ‍

Legal! Então sabemos que

x

é igual a

8

. Mas lembre-se de que estamos procurando um par ordenado. Precisamos de um valor de

y

também. Vamos usar a primeira equação para encontrar o valor de

y

quando

x

é igual a

8

$\begin{aligned} y & = 2 x & Equação 1 \\ y & = 2 (8) & Substitua x por 8 \\ y & = 16 \end{aligned}$ ‍

Maravilha! Então a solução para o sistema de equações é

(8, 16)

. É sempre interessante conferir a solução nas equações originais, só para garantir.

Vamos conferir a primeira equação:

$\begin{aligned} y & = 2 x \\ 16 & \overset{?}{=} 2 (8) & Substitua x = 8 e y = 16 \\ 16 & = 16 & Uhu! \end{aligned}$ ‍

Vamos conferir a segunda equação:

$\begin{aligned} x + y & = 24 \\ 8 + 16 & \overset{?}{=} 24 & Substitua x = 8 e y = 16 \\ 24 & = 24 & Uhu! \end{aligned}$ ‍

Excelente!

(8, 16)

realmente é uma solução. Não devemos ter cometido nenhum erro.

Sua vez de resolver um sistema de equações usando a substituição.

Use a substituição para resolver o seguinte sistema de equações.

$4 x + y = 28$ ‍

$y = 3 x$ ‍

x =

y =

Como encontrar o valor de uma variável e depois usar a substituição

Às vezes, usar a substituição é um pouco mais complicado. Veja outro sistema de equações:

$- 3 x + y = - 9 Equação 1$ ‍

$5 x + 4 y = 32 Equação 2$ ‍

Observe que nenhuma dessas equações já tem o valor de

x

ou de

y

. Consequentemente, a primeira etapa é encontrar o valor de

x

ou de

y

antes de qualquer coisa. Veja como isso é feito:

Etapa 1: resolver uma das equações, para encontrar o valor de uma das variáveis.

Vamos resolver a primeira equação para encontrar o valor de $y$ ‍:

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & Equação 1 \\ - 3 x + y + 3 x & = - 9 + 3 x & Some 3x em cada lado \\ y & = - 9 + 3 x \end{aligned}$ ‍

Etapa 2: substituir essa equação na outra equação, e encontrar o valor de $x$ ‍.

$\begin{aligned} 5 x + 4 y & = 32 & Equação 2 \\ 5 x + 4 (- 9 + 3 x) & = 32 & Substitua y por -9 + 3x \\ 5 x - 36 + 12 x & = 32 \\ 17 x - 36 & = 32 \\ 17 x & = 68 \\ x & = 4 & Divida cada lado por 17 \end{aligned}$ ‍

Etapa 3: substitua $x = 4$ ‍ em um das equações originais e encontre o valor de $y$ ‍.

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & A primeira equação \\ - 3 (4) + y & = - 9 & Substitua x por 4 \\ - 12 + y & = - 9 \\ y & = 3 & Some 12 de cada lado \end{aligned}$ ‍

Então nossa solução é

(4, 3)

Vamos praticar!

1) Use a substituição para resolver o seguinte sistema de equações.

$2 x - 3 y = - 5$ ‍

$y = x - 1$ ‍

x =

y =

2) Use a substituição para resolver o seguinte sistema de equações.

$- 7 x - 2 y = - 13$ ‍

$x - 2 y = 11$ ‍

x =

y =

3) Use a substituição para resolver o seguinte sistema de equações.

$- 3 x - 4 y = 2$ ‍

$- 5 = 5 x + 5 y$ ‍

x =

y =

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Davi Vinicius
Publicado há há 3 meses. Link direto para a postagem “Uma loja vende dois tipos...” de Davi Vinicius
Uma loja vende dois tipos de camisetas: camisetas de algodão e camisetas de poliéster. Um cliente comprou um total de 10 camisetas, gastando um total de R$ 180. As camisetas de algodão custam R$ 20 cada e as camisetas de poliéster custam R$ 15 cada. Quantas camisetas de cada tipo o cliente comprou?
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Valber
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “Porque esses exercícios s...” de Valber
Porque esses exercícios são tão bestas, me dão sono
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