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Curso: Geometria intermediária > Unidade 1

Lição 5: Reflexões

Reflexão de formas

Aprenda a encontrar a imagem de uma reflexão dada.

Neste artigo, vamos encontrar as imagens de diferentes formas com diferentes reflexões.

O eixo de simetria

Uma reflexão é uma transformação que atua como um espelho: ela troca todos os pares de pontos que estão exatamente nos lados opostos do eixo de simetria.

O eixo de simetria pode ser definido por uma equação ou por dois pontos pelos quais ele passa.

Parte 1: reflexão de pontos

Vamos analisar um exemplo de reflexão sobre uma reta horizontal

Temos que encontrar a imagem

A^{'}

A (- 6, 7)

com uma reflexão sobre

y = 4

Solução

Etapa 1: faça um segmento de reta perpendicular de

A

até o eixo de simetria e meça-o.

Como o eixo de simetria é perfeitamente horizontal, uma reta perpendicular a ele será perfeitamente vertical.

Etapa 2: faça o segmento de reta na mesma direção e com a mesma medida.

Resposta:

A^{'}

está em

(- 6, 1)

Sua vez!

Exercício

Desenhe a imagem de $B (7, - 4)$ ‍ com uma reflexão em $x = 2$ ‍.

Desafio

Qual é a imagem de $(- 25, - 33)$ ‍ com uma reflexão na reta $y = 0$ ‍?

(

,

)

Vamos analisar um exemplo de reflexão sobre uma reta diagonal

Temos que encontrar a imagem

C^{'}

C (- 2, 9)

com uma reflexão em

y = 1 - x

Solução

Etapa 1: faça um segmento de reta perpendicular de

C

até o eixo de simetria e meça-o.

Como o eixo de simetria passa exatamente pelas diagonais dos quadrados unitários, uma reta perpendicular a ele deverá passar pela outra diagonal do quadrado unitário. Em outras palavras, retas com coeficientes angulares $1$ ‍ e $-1$ ‍ são sempre perpendiculares.

Para ficar mais fácil, vamos medir a distância em "diagonais":

Etapa 2: faça o segmento de reta na mesma direção e com a mesma medida.

Resposta:

C^{'}

está em

(- 8, 3)

Sua vez!

Exercício

Desenhe a imagem de $D (3, - 5)$ ‍ com uma reflexão em $y = x + 2$ ‍.

Desafio

Qual é a imagem de $(- 12, 12)$ ‍ com uma reflexão na reta $y = x$ ‍?

(

,

)

A reflexão está em

y = x

, que tem um coeficiente angular igual a

1

, então sua perpendicular deve ter um coeficiente angular igual a

- 1

. Como essa perpendicular deve passar por

(- 12, 12)

, a equação adequada é simplesmente

y = - x

Para encontrar a imagem de

(- 12, 12)

, temos que seguir ao longo de

y = - x

por uma certa distância até chegarmos no cruzamento com

y = x

e, então, seguir pela mesma distância até o ponto da imagem.

As retas

y = x

y = - x

se cruzam na origem

(0, 0)

, que está a

12

diagonais de

(- 12, 12)

. Sendo assim, a imagem está a

12

diagonais em outra direção, que é o ponto $(12, - 12)$ ‍.

Parte 2: reflexão de polígonos

Vamos estudar um exemplo de problema

Considere o retângulo

E F G H

desenhado abaixo. Vamos desenhar sua imagem

E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}

com uma reflexão na reta

y = x - 5

Solução

Quando refletimos um polígono, basta realizarmos uma reflexão em todos os vértices (isso é semelhante ao modo como transladamos ou rotacionamos polígonos).

Esses são os vértices originais e suas imagens. Observe que