Aplicação de volume de sólidos

RKA22JL - E aí, pessoal? Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver a aplicação do volume de um cone. E, para isso, temos o seguinte aqui: um funil de grãos em forma de cone tem um raio de 10 metros e 8 metros de altura, ou seja, um cone é uma figura mais ou menos assim, com uma base superior circular, e, aí, você tem os lados que vão se interceptar em um único ponto. O exercício diz que esse cone tem um raio de 10 metros, ou seja, o raio desse topo, dessa base, e uma altura que é a distância desse centro até esse vértice, que é de 8 metros. Faltam 2 metros de altura para que o cone seja coberto por grãos, ou seja, tem grãos até mais ou menos aqui. Já que a distância daqui até esse centro é de 2 metros, então, se a altura toda mede 8 metros e essa distância aqui já é 2 metros, essa aqui é 6 metros, ou seja, tem grãos até 6 metros de altura. O exercício também diz que a tremonha irá despejar os grãos em caixas com dimensões de 0,5 metro por 0,5 metro por 4 metros. Se você não sabe o que é uma tremonha, ela nada mais é do que uma peça de madeira onde se coloca o grão para ser triturado. A tremonha despeja grãos a uma taxa de 8 metros cúbicos por minuto. E a primeira pergunta que eu quero lhe fazer é: Qual é o volume de grãos na tremonha? Dê o valor aproximado em uma casa decimal. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente fazer isso sozinho. Vamos lá, então. O que queremos saber é o volume desta parte onde tem grãos. Se você não lembra, o volume de um cone é um terço da área da base vezes a altura, e conhecemos a altura, que é de 6 metros. Então, precisamos conhecer apenas a área da base. E a área da base de um cone é a área de um círculo, que é A = π r², ou seja, a nossa área vai ser V = 1/3 π r² vezes 6, que é a altura. E a área da base, nesse caso, é a área desse círculo aqui. Para achá-la, vamos precisar desse raio aqui, que ainda não conhecemos, mas que podemos chamar de r. E como podemos determiná-lo? Simples. Note que temos um triângulo menor aqui e outro triângulo maior na parte direita do cone e, com semelhança de triângulos, podemos descobrir esse raio. Note que esse raio é paralelo a este aqui. Aqui, temos um ângulo reto, e aqui também. Consequentemente, esse ângulo é igual a esse, já que temos duas retas paralelas cortadas por duas transversais e, com isso, os ângulos correspondentes são congruentes. E, claro, o terceiro ângulo é comum a ambos os triângulos. Então, pelo caso ângulo-ângulo, esses dois triângulos são semelhantes. Por causa disso, esses dois triângulos têm relações proporcionais interessantes. Ou seja, esse lado aqui sobre esse é igual a essa altura sobre essa aqui. O que eu quero dizer é que se pegarmos o raio menor e dividirmos pelo raio maior, que é 10, isso vai ser a mesma coisa que pegar a altura menor e dividir pela altura maior. E podemos multiplicar cruzado aqui, ficando com 8r = 60 e, dividindo ambos os membros dessa equação por 8, vamos ter que r = 60 dividido por 8. Dividindo 60 por 8, vamos ter um raio igual a 7,5 metros. Com essa Informação, podemos substituir aqui para achar o volume. Então, vai ser igual a 1/3 de “pi” (π), vezes o r2, que é 7,5 ao quadrado vezes 6. E, claro, podemos simplificar aqui por 3, que vai dar 1, e, aqui, por 3, que vai dar 2, e, para resolver essa multiplicação, podemos utilizar uma calculadora, já que não temos a informação do valor de π. E, aí, vamos ficar com 7,5 ao quadrado, vezes 2, vezes π, que vai ser igual a 353 “vírgula” tudo isso aqui. Mas, como queremos aproximar para uma casa decimal, vamos ter que esse volume vai ser aproximadamente 353,4 metros cúbicos. Essa aqui é a resposta dessa primeira pergunta e, na segunda, queremos saber o seguinte: Quantas caixas completas os grãos preencherão? De novo eu sugiro que você pause o vídeo e tente pensar nisso sozinho. Vamos lá, então. O exercício diz que a tremonha irá despejar os grãos em caixas com dimensões de 0,5 metro por 0,5 metro por 0,4 metro. Isso significa que temos uma caixa mais ou menos assim, com um comprimento igual a 0,5 metro e uma largura igual a 0,5 metro e uma altura igual a 0,4 metro. E para descobrir o volume dessa caixa, nós multiplicamos as três dimensões, ou seja, o volume vai ser igual a 0,5 metro vezes 0,5 metro, vezes 0,4 metro. E essa multiplicação é igual a 0,1 metro cúbico. Para saber quantas caixas cheias de grãos nós teremos, precisamos pegar esse volume e dividir por esse 0,1. Então, vamos ter 353,4 metros cúbicos dividido por 0,1 metro cúbico. E, aí, podemos cancelar esse metro cúbico com esse aqui, ficando com 3.534 caixas. Por fim, queremos saber quanto tempo levará para preencher as caixas. Aproxime para o minuto mais próximo. Sabemos que o volume de grãos é esse aqui e o exercício fala que a tremonha despeja grãos a uma taxa de 8 metros cúbicos por minuto e como queremos saber quanto tempo a caixa vai encher também em minutos, pegamos o volume de grãos e dividimos por 8 metros cúbicos. Podemos utilizar a nossa calculadora, e, aí, teremos 353,4 dividido por 8, que vai ser igual a 44,175. Mas, como queremos arredondar para o minuto mais próximo, vamos arredondar isso para 44 minutos. Claro, aqui cancelamos esse metro cúbico com esse aqui. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!