Demonstração do critério de congruência de triângulos LAL usando transformações

[RKA20C] E aí, pessoal!? Tudo bem? Neste vídeo, vamos provar o critério de congruência lado-ângulo-lado utilizando transformações. Ou seja, vamos provar que, se temos dois triângulos, em que dois lados correspondentes são iguais, por exemplo, este lado azul é igual a este aqui, e este segmento laranja é igual a este, e o ângulo que é formado por estes dois lados é igual ao ângulo correspondente deste outro triângulo, ou seja, os ângulos correspondentes têm a mesma medida... Então, temos lado-ângulo-lado aqui e lado-ângulo-lado aqui também. Se isso acontece, podemos deduzir que esses dois triângulos são congruentes pela definição de transformação rígida de congruência. Ou seja, pelo critério lado-ângulo-lado, sendo que o ângulo deve estar entre esses dois lados, os triângulos são congruentes entre si. Então, para fazer essa dedução, só precisamos dizer que sempre há uma transformação rígida se tivermos um lado-ângulo-lado em comum que nos permita colocar um triângulo sobre o outro. Porque, se há uma série de transformações rígidas que nos permitem fazer isso, pelo critério de semelhança, os dois triângulos serão congruentes entre si. A primeira coisa que devemos fazer é relembrar que, se temos dois segmentos com o mesmo comprimento, como o segmento AB e o segmento DE, então, necessariamente, eles são congruentes. Isso significa que você sempre pode colocar um segmento sobre o outro utilizando uma série de transformações. Para começar, vamos colocar o ponto B sobre o ponto E e vamos chamar este novo ponto de B'. Se fizermos apenas uma translação para isso, o lado BA vai ficar aqui, o lado laranja. Mas podemos fazer outra transformação, que seria girar o triângulo em torno do ponto E ou B', ou seja, girar um lado, e isso faria todo triângulo girar para DE. Nesse caso, assim que fizermos a segunda transformação, o ponto A vai coincidir com o D, o que podemos chamar de A'. D é igual a A'. Mas a questão é: onde está C? Bem, podemos utilizar este comprimento aqui. Utilizando o compasso, a distância entre A e C... Como todas as transformações preservam as distâncias, sabemos que C', o ponto que queremos saber depois das transformações, vai estar em algum lugar desse arco, já que a distância dele até A' vai ser a mesma da distância de C até A. Também sabemos que as transformações rígidas preservam as medidas dos ângulos. À medida que colocamos um triângulo sobre o outro, o ângulo também vai ser preservado. Portanto, o lado AC vai ser transformado neste lado aqui. Com isso, F vai ser igual a C'. Pronto, encontramos a nossa transformação com base nesse critério, indicando que os triângulos são congruentes entre si. Mas calma aí! Existe outra possibilidade de que este ângulo seja preservado, com o lado AC aqui devido às transformações, ou após as transformações. Vai ser algo mais ou menos assim. Nesse caso, o novo C, melhor dizendo, C' vai estar aqui. Se isso acontece, precisamos fazer apenas mais uma transformação. Podemos fazer uma reflexão sobre DE ou sobre A'C' para refletir o ponto C' de modo que ele fique sobre F. E como sabemos que C' ficará exatamente sobre F? Bem, este ângulo vai ser preservado devido às transformações serem rígidas, ou seja, uma transformação que não altera o tamanho ou a forma da figura. Então, quando refletirmos isso sobre DE, o ângulo vai ser mantido. Com isso, A'C' vai ficar sobre DF. Pronto, conseguimos mostrar, utilizando uma série de transformações, que, pelo critério LAL, um triângulo é congruente ao outro. Espero que esta aula tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!