Área do floco de neve de Koch (1 de 2)

RKA - A gente já sabe como descobrir a área de um triângulo equilátero. Nesse vídeo eu quero tentar descobrir a área de um. Eu sei que eu estou pronunciando errado. de um floco de neve de Koch. E para construir vamos começar com um triângulo equilátero, depois dividimos cada um dos lados em 3 partes e no terço médio vamos colocar outro triângulo equilátero menor e isso depois do primeiro passo. No segundo passo repetimos isso para todos esses lados. Então um pequeno triângulo aqui, aqui, aqui, aqui, aqui, aqui, aqui e aqui. Eu acho que já entenderam. Esse é o próximo passo. E no próximo passo, repetem isso para todos esses lados. O legal é que, e já mostramos isso em um vídeo anterior, é que tem uma figura com um perímetro infinito, mas o que veremos neste vídeo na verdade é que ela tem uma área finita. Vamos então começar com um novo triângulo equilátero bem aqui. Vamos assumir que cada um dos lados tem o comprimento "S". Então, esse será um novo triângulo equilátero. Cada um dos lados. Vou desenhar um pouco melhor. Cada um dos lados tem o comprimento "S" e o que eu vou fazer é continuar a monitorar duas coisas: uma são os lados desse triângulo à medida que ele se transforme em um floco de neve, e a outra é a área após cada passo quando eu adicionar mais triângulos menores. Essa área será a nossa contagem da área. Vou afastar essas coisas porque eu estou sentindo que eu vou precisar de mais espaço. Então, são os lados. Vou escrever aqui em cima, aqui em baixo é a nossa contagem da área. No começo tem 3 lados e a nossa área, já vimos em um vídeo anterior, será... pressupondo que cada um dos lados tenha o comprimento "S", será a raiz quadrada de 3S² sobre 4. Esse era um simples triângulo equilátero. Vamos agora pegar cada um desses lados e dividi-los por 3, depois no terço médio vamos adicionar outro triângulo equilátero menor. Assim, terá esta forma neste lado aqui. Eu quero que pensem no que estamos fazendo em cada lado aqui. Antes de fazer esse era apenas um lado, a seguir dividi em 3 e no terço médio basicamente coloquei dois lados, coloquei um triângulo equilátero. Agora 1 lado se transformou em 1, 2, 3, 4 lados. Todas as vezes que damos um passo para tornar um floco de neve mais intrincado, cada lado se transformará em 4 lados. Assim podem imaginar que se fizessem todos os 3 lados, a gente teria 4 vezes 3, o que daria agora 12 lados. Então, se multiplicarem isso por 4, teremos agora 12 lados. Vamos contar para ter certeza de que a nossa lógica está correta. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 lados. Qual é a área? Ela será a área do nosso triângulo equilátero original amarelo, mais a área de cada um desses triângulos menores. Qual é a área de cada um desses triângulos menores? Antes de mais nada temos 3 deles, tem 3 desses triângulos menores. E usamos então de novo a fórmula para a área de um triângulo equilátero. Ela será a √3S². Mas agora o comprimento de cada um dos lados de cada um desses triângulo equiláteros menores não será mais S, será S/3. Lembre-se que esse comprimento é S/3, então esse será S/3 também. A cada passo, os lados do triângulo equilátero tornam-se um terço do passo anterior. Então não será mais S², será "S/3²" e tudo isso sobre 4. Vamos fazer outro passo. Vamos adicionar esses triângulos. Vou adicionar estes aqui. E este será o último passo que tentarei desenhar todos os triângulos. Quantos lados terei após ter feito o outro passo? No passo anterior eu tinha 12 lados. Cada um desses 12 lados vão se transformar em 4 novos lados quando eu adiciono esses triângulos laranjas. Portanto vou adicionar. Por 4 mais uma vez. Vou multiplicar por 4 e agora vou ter 48 lados. Quantos triângulos novos? Qual é a área agora? Ela será a área amarela mais a área azul, mais a área laranja. Quantos triângulos laranjas novos eu tenho? Estou adicionando 1 triângulo laranja novo para cada um dos lados do passo anterior. No passo anterior eu tinha 12 lados, agora vou adicionar 12 triângulos laranjas. Vou escrever apenas 12 triângulos laranjas, mas na verdade eu só multipliquei por 4. A seguir, terei vezes a "√3". Agora não será mais "S/3", será agora "S/9". Esses têm 1/3 da dimensão deste triângulo azul. Então isso será "S/9". (S/9)² sobre 4. Acho que agora estão começando a perceber o padrão que está se formando se eu fizer outro passo depois desse. Vou mover para direita um pouco. Com o que isso se parecerá? Vou fazer com uma cor diferente. Ainda não usei o rosa. Então eu vou ter este número anterior de lados, e esse é meu número de novos triângulos: 48 vezes a √3S sobre. Agora isso será um terço disso. (S/27)², tudo sobre 4. E eu vou continuar a adicionar um número infinito de termos disso para obter a área de um verdadeiro floco de neve de Koch. Para isso vou continuar a fazer mais uma vez e mais uma vez, enfim. O truque é na verdade descobrir essa soma infinita e ver se obtemos um número finito aqui. A primeira coisa que quero, só para simplificar, é reescrever um pouco diferente aqui. Portanto, a primeira coisa que pode parecer óbvia é que podemos fatorar uma √3s²/4. Se fatorar a √3S²/4 de todos os termos, esse termo ficará 1, esse termo ficará 3. Vejamos, fatoramos a raiz quadrada de 3, fatoramos um 4, e depois o S². Fatoramos apenas o S². E tem mais 3 vezes (1/3)², que é tudo o que resta aqui. Tem (1/3)² depois desse 3 e eu não estou simplificando de propósito a forma de ver um padrão emergindo. Mais a seguir esse próximo termo, mais esse 12 vai continuar aqui e vou escrevê-lo como 3 vezes 4. Estamos fatorando a √3, o 4 e estamos fatorando o S². Ficaremos com 3², isso é isto aqui em baixo ao quadrado. Portanto, é (1/3)² e isto ao quadrado que sobrou desse termo em laranja. Vamos passar agora para o termo em rosa. Esse termo em rosa, 48 é 3 vezes 4 vezes 4. 3 vezes 4, vou escrever 4² porque cada vez vamos multiplicá-lo por 4 de novo. O próximo será 4³ porque na verdade cada lado se transforma em 4 lados. 4², estamos fatorando a √3 e estamos fatorando o 4, e estamos fatorando o S² e o que resta é (1/3³)². Assim, vezes (1/3³)² e vamos continuar a fazer indefinidamente. Em cada passo a gente está multiplicando por 4 e também estamos multiplicando. Acho que diríamos que o expoente desse 4 está aumentando. Na verdade, vai de 4 elevado a 0 e tem 1 que você pode imaginar implicitamente. 4¹, 4², a seguir 4³. Esse expoente também está aumentando, 3¹, 3², 3³. Mas a gente vê que esse expoente é sempre um a mais do que esse­ e será muito mais fácil calcular essa série infinita que vai se transformar em uma série geométrica infinita se esses estiverem, na verdade, o mesmo expoente. Então eu quero aumentar o expoente de 4 em todos esses, mas não posso simplesmente multiplicar tudo indiscriminadamente por 4. Se eu for multiplicar tudo por 4 também terei que dividir tudo por 4. O que eu vou fazer nessa etapa é multiplicar e dividir tudo por 4. Se eu dividir por 4, eu posso colocar isso aqui na frente. Então vamos multiplicar 1/4 por isso aqui e estou dividindo por 4 aqui, depois vou multiplicar por 4. Assim eu não vou mudar o valor da soma e será 4 mais 3 vezes 4 mais 3 vezes 4², 4³. E o que é legal sobre isso é que agora o expoente do 4 e o expoente desse 3 aqui vão ser iguais. Mas ainda parece estranho porque estamos pegando esse (1/3)² e elevando ao quadrado. Aqui só precisamos perceber que isso sempre será o quadrado e essa é a coisa que está aumentando. Mas em geral se eu tiver 1/3 elevado a n e elevar isso ao quadrado é igual a 1/3 elevado à potência de "2n", eu só estou multiplicando por 2. Se eu estiver elevando algo ao expoente, então elevar aquilo a um expoente significa apenas elevar ao expoente n vezes 2. E é exatamente a mesma coisa que (1/3)² elevado à potência de n. Agora dá para trocar esses 2 expoentes de uma maneira bem legítima, vou reescrever tudo porque não quero fazer muita coisa nesse passo. Essa parte tem a √3S²/16. Depois será vezes. Vou abrir e fechar os parentes. Depois tem mais... tem 4 mais. A seguir em azul eu vou escrever 3 vezes 4¹. E posso reescrever agora como vezes 1/3. Dá para visualizar isso como um 1/3². A gente pode visualizar como (1/3¹)² ou como (1/3²)¹. Eu vou escrever isso assim: vezes (1/9)¹, depois mais 3 vezes 4². E dá para escrever como vezes (1/9)². A gente pode escrever mais 3 vezes 4³ vezes... e escrever como 1/27². Mas também eu poderia escrever com base no que vimos aqui, como (1/3²)³. Com base nisso, eu vou explicar. (1/3³)² é a mesma coisa que (1/3²)³. Isso é o que mostramos aqui em cima. Portanto é equivalente a 1/9³. Agora estamos começando a ver que o padrão está ficando um pouco mais claro. Vou fazer só mais um passo e depois vamos terminar no próximo vídeo. Isso é igual a √3S²/16 vezes 4 + 3 vezes que é 4/9, mais o próximo termo que é 3 vezes (4/9)². A seguir tem mais 3 vezes (4/9)³. Depois vamos continuar fazendo isso mais uma vez, e outra vez, e outra vez e elevando 3 vezes 4/9 a expoentes sucessivamente maiores e maiores. Então é o que tem que fazer para descobrir as somas, para encontrar a área. E vamos fazer no próximo vídeo. A gente vai usar algumas das ferramentas que já usamos para descobrir as somas de séries geométricas infinitas. Mas fica para o próximo vídeo para não ter que lembrar dessa fórmula ou dessa prova.