Volume e área de superfície de cilindros

RKA - Vamos descobrir o volume de mais algumas figuras sólidas e então, se der tempo, fazer alguns problemas com área de superfície. Vou desenhar um cilindro, essa é a parte superior do meu cilindro e essa é a altura, e esta é a base. Se fosse transparente talvez pudesse ver o lado de trás do cilindro e pudesse imaginar que é meio parecido com uma lata de refrigerante. Digamos que a altura do meu cilindro, h, é igual a oito. Vou dar a ele algumas unidades. Oito centímetros é minha altura. Digamos que o raio de um desses, do topo do cilindro, da minha lata, é igual a quatro centímetros. Logo, qual é o volume aqui, qual será o volume? E a ideia na verdade é exatamente a mesma coisa que vimos em alguns dos problemas anteriores. Se conseguir encontrar a área de superfície de um lado e então descobrir a profundidade, conseguirá descobrir o volume. O que vamos fazer é descobrir a área da superfície do topo deste cilindro ou da parte superior da lata de refrigerante, e multiplicar pela sua altura. Isso dará um volume, basicamente vai dizer quantos centímetros quadrados cabem nesse topo. Se multiplicar isso por quantos centímetros a gente desce, então dá um número de centímetros cúbicos neste cilindro, ou lata de refrigerante. Portanto, como vamos descobrir esta área? A área superior é como encontrar a área de um círculo, e poderia eu desenhar assim, como se estivesse olhando diretamente para ele. Esse é um círculo com raio de quatro centímetros. A área do círculo com raio de quatro centímetros é igual a pi r ao quadrado, então será pi vezes o raio ao quadrado vezes quatro centímetros quadrados, que é igual a 4 ao quadrado é 16, vezes pi. E nossas unidades agora serão centímetros quadrados. Outra forma de pensar é centímetros ao quadrado. Essa é a área, o volume será esta área vezes a altura. Então, o volume será igual a 16 pi centímetros quadrados. Centímetros quadrados. Vezes a altura, vezes oito centímetros. E assim, quando multiplica a propriedade associativa pode rearranjar essas coisas, e a propriedade comutativa, não importa em que ordem faça, se for tudo multiplicação. É a mesma coisa que 16 vezes 8. Vejamos, oito vezes oito é 64, 16 vezes 8 é duas vezes isso, será 128 pi. 128 pi. Agora você tem centímetros ao quadrado vezes centímetros, e nos dá centímetros cúbicos, ou 128 centímetros cúbicos. Lembre-se: pi é apenas um número, escrevemos pi por que ele é um número meio louco, meio irracional, e que se fosse escrito você nunca poderia escrever... completamente, sabe? 3,14159 e continua sem nunca repetir. Daí é melhor deixar como pi, mas se quiser descobrir poderia usar uma calculadora e seria aproximadamente 3,14 vezes 128 e seria mais ou menos 400 centímetros cúbicos. Agora como descobrimos a área da superfície dessa figura aqui? Parte da área da superfície das duas superfícies, o topo e a base, assim seria parte da área da superfície e a base aqui seria também parte da área de superfície. Se estiver tentando encontrar a área da superfície, ela definitivamente conterá as duas áreas aqui e terá o 16 pi centímetros quadrados duas vezes. Isso é um 16 pi, isso é outro 16 pi centímetros quadrados, e terá duas vezes 16 pi centímetros quadrados. Ainda vou manter as unidades... E isso cobre o topo e a base da nossa lata de refrigerante. Agora, tem que descobrir a área da superfície dessa coisa que vai ao redor, e a maneira que imagino isso é como se você estivesse tentando embrulhar essa coisa com papel. Vou desenhar uma pequena linha pontilhada aqui.. Imagine que esteja tentando cortar assim. Corte o lado da lata de refrigerante, e se fosse desenrolar essa coisa que vai ao redor dela, o que teria? Teria alguma coisa... Acabaria com uma folha de papel onde este comprimento é o mesmo que esse aqui. E estaria completamente desenrolado. Essas duas extremidades... Vou fazer com essa cor. Essas duas extremidades se encontravam antes, e vou fazer numa cor que ainda não usei, acho que fazer em rosa essas duas extremidades que costumavam se tocar quando tudo estava enrolado e elas costumavam se tocar bem aqui. O comprimento desse lado e daquele lado será o mesmo que a altura do cilindro e será 8 centímetros. Aqui também será 8 centímetros. A pergunta que temos que responder é: quanto será a dimensão daqui? Lembre-se, essa dimensão é essencialmente a distância ao redor do cilindro, e se analisar, ela será exatamente a mesma coisa que a circunferência tanto da parte superior como da base do cilindro. Qual é a circunferência? A circunferência desse círculo é a mesma coisa que a circunferência daquele círculo ali, é duas vezes o raio vezes pi, ou 2 pi vezes o raio, 2 pi vezes quatro centímetros, que é igual a 8 pi centímetros. Essa distância é a circunferência tanto da parte superior quanto da base do cilindro. Será 8 pi centímetros. Então se quiser encontrar a área da superfície apenas do embrulho, apenas da parte que vai ao redor do cilindro, e não da parte superior ou da base, quando o desenrolar, será parecido com este retângulo. E assim, a área daquela parte será igual a: oito centímetros vezes oito pi centímetros, então vou fazer assim, será 8 centímetros vezes oito pi centímetros. E isso é igual a 64 pi. Oito vezes oito é 64, você tem o pi centímetros quadrados, quando quiser a área da superfície da coisa toda, tem a parte superior, a base, e já colocamos isso lá. Agora quero encontrar a área da coisa ao redor, acabamos de descobrir. Vai ser mais 64 pi centímetros quadrados. Tem apenas que calcular e chegamos a duas vezes 16 pi, será igual a 32 isso é 32 pi centímetros ao quadrado, mais 64 pi. Vou lá pra direita um pouquinho, Mais 64 pi centímetros quadrados, e 32 mais 64 é... 96 pi centímetros quadrados. Então é igual a 96 pi centímetros quadrados, que será um pouco mais que... 300 centímetros quadrados. Notem: quando calculamos a área de superfície encontramos nossa resposta em termos de centímetros quadrados, e isso faz sentido porque a área da superfície é uma medida bidimensional, imagine quantos centímetros quadrados cabem na superfície de um cilindro, quando calculamos o volume encontramos centímetros cúbicos, isso porque estávamos tentando calcular quantos cubos de 1x1x1 cabem dentro dessa estrutura, e é por isso que são centímetros cúbicos. De qualquer forma, esperamos que tenha esclarecido um pouquinho. Até o próximo vídeo.