Se há desvio padrão, então significa que há outros tipos de desvio que não o padrão? Quais seriam? Qual a diferença?

Lucas, deve haver outros sim, só conheço os básicos: desvio padrão e desvio absoluto médio, ambos explicados aqui no conteúdo de ensino médio. Bom, deve haver o que você coloca a distância ao cubo, faz a média e depois tira a raiz cúbica etc :)

Porque no excel quando usado o comando DESVPAD o resultado é diferente do cálculo manual?

Talvez você tenha usado a função que calcula o DP da amostra em que o denominador é n-1 em vez de n. Existem as duas funções no excel, DESVPAD.P e DESVPAD.A, que significa desvio padrão de uma população e de uma amostra, respectivamente.

Podemos ter no final do calculo números inteiros?

Sim, O resultado do desvio padrão poderá ser inteiro. Por exemplo, se na 4ª etapa o resultado fosse 4 o desvio padrão seria 2, ou seja, como a raiz quadrada de 4 é 2, teríamos um resultado com um número inteiro.

a formula de desvio padrão não deveria ter o n-1 em vez de só n ?

É pq no exercício se trata de um valor populacional, e não amostral, por isso da divisão por N e não n-1

a formula nao teria q ser n-1? tentei encaixar essa formula e o resultado nao bateu

É pq no exercício se trata de um valor populacional, e não amostral, por isso da divisão por N e não n-1

Conteúdo principal

Curso: Matemática EM: Estatística > Unidade 5

Lição 1: Amplitude total, variância e desvio-padrão

Cálculo passo a passo do desvio-padrão

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Introdução

Neste artigo, vamos aprender a calcular o desvio-padrão "manualmente".

É interessante notar que no mundo real um estatístico nunca calcularia o desvio-padrão manualmente. Os cálculos envolvidos são um pouco complexos, e o risco de cometer um erro é grande. Além disso, calcular à mão é lento. Muito lento. É por isso que os estatísticos usam planilhas e programas de computador para fazer os cálculos.

Então, qual é o objetivo deste artigo? Por que estamos perdendo tempo aprendendo um processo que os estatísticos não usam de verdade? A resposta é que aprender a fazer os cálculos manualmente nos ajuda a compreender como o desvio-padrão realmente funciona. É importante entender isso. Em vez de ver o desvio-padrão como um número mágico que nossa planilha ou nosso programa de computador nos dá, poderemos explicar de onde esse número veio.

Visão geral do cálculo do desvio-padrão

A fórmula para o desvio-padrão (DP) é

$DP = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

em que

\sum

significa "somatório",

x

é um valor do conjunto de dados,

μ

é a média do conjunto de dados e

N

é o número de dados na população.

A fórmula do desvio-padrão pode parecer confusa, mas ela vai fazer sentido depois de a desmembrarmos. Nas próximas seções, vamos apresentar passo a passo um exemplo interativo. Segue uma breve amostra dos passos que vamos seguir:

Etapa 1: calcular a média.

Etapa 2: calcular o quadrado da distância entre cada ponto e a média.

Etapa 3: somar os valores da Etapa 2.

Etapa 4: dividir pelo número de pontos.

Etapa 5: calcular a raiz quadrada.

Observação importante

A fórmula acima serve para calcular o desvio padrão de uma população. Se nós estivermos lidando com uma amostra, nós usaremos uma fórmula ligeiramente diferente (abaixo), que usa

n - 1

ao invés de

N

. Neste ponto do artigo, no entanto, você deve se familiarizar com o processo de cálculo do desvio padrão, que é basicamente o mesmo, não importando qual fórmula você irá usar.

{DP}_{amostra} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n - 1}}

Essa é uma ótima pergunta, mas é difícil respondê-la sucintamente. Temos vários vídeos e simulações sobre esse tópico—que é relativamente complexo e bem interessante.

Se você quer aprender sobre a distinção entre população e desvio-padrão da amostra e o porquê de eles não serem calculados da mesma forma, você deve visitar a lição sobre desvio-padrão e variância da amostra.

Vamos lá!

Exemplo interativo passo a passo do cálculo do desvio-padrão

Primeiro, precisamos de um conjunto de dados com o qual trabalhar. Vamos escolher algo pequeno para que não sejamos sobrecarregados pelo número de pontos. Confira um bom:

$6, 2, 3, 1$ ‍

Etapa 1: calcular $μ$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Nessa etapa, calculamos a média do conjunto de dados, que é representada pela variável

μ

Preencha a lacuna.

μ =

Etapa 2: calcular $| x - μ |^{2}$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Nessa etapa, calculamos a distância entre cada dado e a média (ou seja, os desvios), e o quadrado de cada uma dessas distâncias.

Por exemplo, o primeiro dado é

6

, e a média é

3

, então a distância entre eles é de

3

. O quadrado dessa distância é

9

Complete a tabela abaixo.

Dado $x$ ‍	Quadrado da distância até a média $\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍	$9$ ‍
$2$ ‍	Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍
$3$ ‍	Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍
$1$ ‍	Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Dado $x$ ‍	Quadrado da distância até a média $\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍	$\| 6 - 3 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍	$\| 2 - 3 \|^{2} = 1^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍	$\| 3 - 3 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍	$\| 1 - 3 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

Etapa 3: calcular $\sum | x - μ |^{2}$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

O símbolo

\sum

significa "somatório", então nessa etapa vamos somar os quatro valores que encontramos na Etapa 2.

Preencha a lacuna.

\sum | x - μ |^{2} =

Etapa 4: calcular $\frac{\sum | x - μ |^{2}}{N}$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Nessa etapa, dividimos o resultado obtido na etapa 3 pela variável

N

, que é o número de dados.

Preencha a lacuna.

\frac{\sum | x - μ |^{2}}{N} =

Etapa 5: calcular o desvio-padrão $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Nós quase acabamos! Agora, é só calcular a raiz quadrada da resposta da Etapa 4 e terminamos.

Preencha a lacuna.
Arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.

DP = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}} \approx

Isso! Conseguimos! Calculamos com sucesso o desvio-padrão de um conjunto pequeno de dados.

Resumo do que fizemos

Dividimos a fórmula em cinco etapas:

Etapa 1: calcule a média

μ

$μ = \frac{6 + 2 + 3 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$ ‍

Etapa 2: calcule o quadrado da distância de cada dado até a média

| x - μ |^{2}

$x$ ‍		$\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍		$\| 6 - 3 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍		$\| 2 - 3 \|^{2} = 1^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍		$\| 3 - 3 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍		$\| 1 - 3 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

Steps 3, 4, and 5:

$\begin{aligned} DP & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}} \\ = \sqrt{\frac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\ = \sqrt{\frac{14}{4}} Somar os quadrados das distâncias (etapa 3). \\ = \sqrt{3, 5} Dividir pelo número de dados (etapa 4). \\ \approx 1, 87 Calcular a raiz quadrada (etapa 5). \end{aligned}$ ‍

Tente você mesmo

Aqui está um lembrete da fórmula:

$DP = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Aqui está um conjunto de dados:

$1, 4, 7, 2, 6$ ‍

Calcule o desvio-padrão do conjunto de dados.
Arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.

DP =

Calcular a média

μ = \frac{1 + 4 + 7 + 2 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4

Calcular o quadrado das distâncias entre cada um dos dados e a média

$x$ ‍		$\| x - μ \|^{2}$ ‍
$1$ ‍		$\| 1 - 4 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$4$ ‍		$\| 4 - 4 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$7$ ‍		$\| 7 - 4 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍		$\| 2 - 4 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍
$6$ ‍		$\| 6 - 4 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

Aplicar a fórmula

\begin{aligned} DP & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}} \\ = \sqrt{\frac{9 + 0 + 9 + 4 + 4}{5}} \\ = \sqrt{\frac{26}{5}} \\ = \sqrt{5, 2} \\ \approx 2, 28 \end{aligned}

Resposta

O desvio-padrão é de aproximadamente $2, 28$ ‍.

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Lucas De Oliveira
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Se há desvio padrão, entã...” de Lucas De Oliveira
Se há desvio padrão, então significa que há outros tipos de desvio que não o padrão? Quais seriam? Qual a diferença?
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Resposta
- Luiz Portella
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Lucas, deve haver outros ...” de Luiz Portella
  Lucas, deve haver outros sim, só conheço os básicos: desvio padrão e desvio absoluto médio, ambos explicados aqui no conteúdo de ensino médio. Bom, deve haver o que você coloca a distância ao cubo, faz a média e depois tira a raiz cúbica etc :)
  Comentar sobre a postagem “Lucas, deve haver outros ...” de Luiz Portella
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Leandro Rubio
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Porque no excel quando us...” de Leandro Rubio
Porque no excel quando usado o comando DESVPAD o resultado é diferente do cálculo manual?
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- Thiago Medeiros
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Talvez você tenha usado a...” de Thiago Medeiros
  Talvez você tenha usado a função que calcula o DP da amostra em que o denominador é n-1 em vez de n. Existem as duas funções no excel, DESVPAD.P e DESVPAD.A, que significa desvio padrão de uma população e de uma amostra, respectivamente.
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mariorneto
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Qual motivo para represen...” de mariorneto
Qual motivo para representar a equação do desvio padrão com a notação de módulo no conjunto |X-Xm|^2? A notação correta não é utilizando parênteses?
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Resposta
- Luiz Portella
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Mário, matematicamente nã...” de Luiz Portella
  Mário, matematicamente não há diferença alguma entre usar parênteses e usar módulo. Veja que foi dito: Etapa 2: calcular o quadrado da distância entre cada ponto e a média.
  Se é distância, então tem que ser módulo e não parênteses. Esse seria o único motivo, penso eu.
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  (5 votos)
Endrigo Mello
Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Podemos ter no final do c...” de Endrigo Mello
Podemos ter no final do calculo números inteiros?
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- Jean Gmack Gomes
  Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Sim, O resultado do desvi...” de Jean Gmack Gomes
  Sim, O resultado do desvio padrão poderá ser inteiro. Por exemplo, se na 4ª etapa o resultado fosse 4 o desvio padrão seria 2, ou seja, como a raiz quadrada de 4 é 2, teríamos um resultado com um número inteiro.
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  (2 votos)
naumtenorio2002
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “a formula de desvio padrã...” de naumtenorio2002
a formula de desvio padrão não deveria ter o n-1 em vez de só n ?
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- mineirocampos70
  Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “É pq no exercício se trat...” de mineirocampos70
  É pq no exercício se trata de um valor populacional, e não amostral, por isso da divisão por N e não n-1
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eduarda pereira
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “a formula nao teria q ser...” de eduarda pereira
a formula nao teria q ser n-1? tentei encaixar essa formula e o resultado nao bateu
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Resposta
- danielle.oliveira
  Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “É pq no exercício se trat...” de danielle.oliveira
  É pq no exercício se trata de um valor populacional, e não amostral, por isso da divisão por N e não n-1
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