Resolução de sistemas de equações por eliminação (antigo)

RKA - Vamos explorar alguns outros métodos para resolver sistemas de equações. Digamos que tenha essa equação: 3x + 4y igual a 2,5, e tenho outra equação: 5x - 4y igual a 25,5. Queremos encontrar os valores para x e y que satisfaça as duas equações. Se você pensar graficamente isso seria equivalente a intersecção das retas que representam o conjunto solução do sistema de equações. Como podemos proceder? Vimos no método de substituição que preferimos eliminar uma das variáveis. Fizemos isso através da substituição na última vez. Porém, se tem uma coisa que podemos somar ou subtrair, vamos nos concentrar nessa equação em amarelo na parte superior, tem algo que podemos somar ou subtrair os dois lados dessa equação. Ou não? Lembre-se, a qualquer momento que você lidar com uma equação terá que somar ou subtrair a mesma coisa dos dois lados. Porém, ainda assim, há algo que podemos somar ou subtrair aos dois lados dessa equação que poderia eliminar uma das variáveis? E teríamos uma equação em uma variável e poderíamos resolver para ela. Provavelmente, não está muito óbvio. Embora, esteja bem na sua frente. E se somássemos essa equação àquela equação? O que eu quero dizer com isso é que se somássemos 5x - 4y ao lado esquerdo e somássemos 25,5 ao lado direito, o que eu faria seria literalmente somar isso ao lado esquerdo e somar aquilo ao lado direito. Você deve estar pensando: "Não! Espera aí, como se faz para somar duas equações assim?" Lembre-se, quando está fazendo qualquer equação, se tenho qualquer equação da forma, realmente qualquer equação, Ax + By igual a "C". Se quero fazer algo com essa equação eu apenas preciso somar a mesma coisa aos dois lados dela. Eu poderia, por exemplo, somar "D" aos dois lados da equação. Porque "D" é igual a "D". Então, não estaria alterando a equação. Você teria Ax + By + D igual a C + D. Já vimos isso várias vezes. Qualquer coisa que você fizer de um lado terá que fazer do outro lado. Você deve estar pensando: "Espera aí, no lado esquerdo você está somando 5x - 4y à equação, no lado direito você está somando 25,5 à equação. Você não está somando coisas diferentes nos dois lados da equação?". E minha resposta será: "Não!" A gente sabe que 5x - 4y é igual a 25,5. Essa quantidade e essa quantidade são a mesma coisa. As duas valem 25,5. Essa segunda equação me diz isso explicitamente. Então, posso somar isso ao lado esquerdo. Estou essencialmente somando 25,5 à equação, e poderia somar 25,5 ao lado direito. Então, vamos lá! Se eu fosse somar ao lado esquerdo 3x + 5x é 8x. E quanto é 4y - 4y? Esse era o motivo da soma. Quando olhei para essas duas equações eu disse: "Bom, eu tenho 4y e tenho - 4y, se somar esses dois eles irão se cancelar". Eles serão +0y, ou aquele termo inteiro irá embora. Isso será igual a 2,5 + 25,5 é 28. Então, você divide os dois lados. Você tem 8x que é igual a 28. E se dividir os dois lados por 8 temos que x é igual a 28 sobre 8. E simplificamos o numerador e o denominador por 4. Isso é igual a 7 sobre 2. Esse é o nosso valor de x. Agora, queremos encontrar nosso valor de y e poderíamos substituir em qualquer uma das duas equações. Vamos utilizar a equação superior. Poderia fazer isso com a equação inferior também. Sabemos que 3 vezes x, 3 vezes 7 sobre 2, estou substituindo o valor de x que já descobrimos nessa equação de cima, 3 vezes 7 sobre 2 + 4y igual a 2,5. Vou escrever isso como 5/2. Vamos ficar no mundo das frações. Isso será 21 sobre 2 + 4y é igual a 5/2. Subtraia 21 sobre 2 dos dois lados, então -21 sobre 2, -21 sobre 2, o lado esquerdo o que te sobra é apenas 4y. Porque esses dois aqui se cancelam, é igual a, isso é 5 sobre 2, - 21 sobre 2, isso é igual a -16 sobre 2, isso é -16 sobre 2 que é a mesma coisa que, vou escrever como -16 sobre 2, ou poderíamos escrever isso, deixa eu continuar aqui, 4y, vou continuar com essa linha de pensamento. 4y é igual a -8. Divida os dois lados por 4 e terá y igual a -2, então, a solução para essa equação é x é igual a 7/2 e y é igual a -2. Essas seriam as coordenadas de intersecção das retas, e você poderia experimentar isso nas duas equações. Vamos conferir que isso também satisfaz a essa equação de baixo. 5 vezes 7/2 é 35 sobre 2 menos 4 vezes -2. Então, -8. Isso é equivalente a, veja isso é 17,5 + 8, isso de fato é igual a 25,5. Portanto, isso satisfaz às duas equações. Agora, vamos ver se podemos usar essas novas habilidades para resolver esse problema, esses novos recursos de eliminação. Aqui temos que Nadia e Pedro visitaram a loja de doces. Nadia comprou 3 doces e 4 balas de fruta por dois reais e oitenta e quatro centavos. Pedro também comprou 3 doces, mas pôde comprar apenas 1 bala de fruta. Sua compra foi de um real e setenta e nove centavos. Qual é o preço de cada doce e de cada bala de fruta? Vamos definir algumas variáveis. Vamos usar x e y, vamos deixar que x seja o custo do doce. Pensei em usar "d" ou "c". Mas, eu vou ficar com x e y. E vamos usar y para a bala de fruta. Beleza! O que essa primeira parte nos diz? Nadia comprou 3 doces. Então, o preço de 3 doces será igual a 3x, e 4 balas de fruta, +4 vezes y, o preço de cada bala de fruta. Isso é quanto Nadia gastou, 3 doces, 4 balas de fruta e isso irá custar R$2,84. Isso é o que a primeira parte nos informa e que se traduz nessa equação. A segunda parte: Pedro também comprou 3 doces, mas pôde comprar apenas 1 bala de fruta. Só 1 balinha de fruta. Sua compra custou R$1,79. Qual é o preço de cada doce e de cada bala de fruta? Vamos resolver isso usando a eliminação. Poderia resolver isso utilizando qualquer uma das técnicas que já vimos, substituição, eliminação e até representação em gráfico, embora seja um pouco difícil encontrar as coisas com representação em gráfico. Como podemos proceder? Lembre-se, com eliminação você irá somar. Vamos nos concentrar nessa equação aqui em cima. Tem uma coisa que poderíamos somar aos dois lados dessa equação que nos ajudaria a eliminar uma das variáveis? Ou, deixe-me colocar de outra forma. Tem alguma coisa que poderíamos somar ou subtrair os dois lados dessa equação que nos ajudaria a eliminar uma das variáveis? Como no problema que fizemos um pouco antes nesse vídeo, e se eu subtraísse essa equação? Se subtraísse 3x + y de 3x +4y no lado esquerdo e subtraísse um real e setenta e nove centavos do lado direito? E, lembre-se, ao fazer isso estaria subtraindo a mesma coisa dos dois lados da equação. Isso vale um real e setenta e nove centavos. Como é que eu sei? Porque aqui diz que isso é igual a um real e setenta e nove centavos. Então, se fizéssemos isso estaríamos subtraindo a mesma quantidade dos dois lados da equação. Então, vamos subtrair 3x + y do lado esquerdo da equação. Vou fazer isso aqui no lado direito, se subtrair 3x + y isso é o mesmo que -3x - y, se distribuir o sinal negativo. Então, vamos subtrair. Você terá -3x - y, talvez eu devesse deixar mais claro aqui que isso não é um sinal de +. Pode pensar que estou multiplicando a segunda equação por -1 é igual a -1 real e setenta e nove centavos. Estou pegando a segunda equação. Você poderia imaginar: "Estou multiplicando por -1". Agora, irei somar o lado esquerdo ao lado esquerdo da equação e o lado direito ao lado direito dessa equação. E o que teremos? Quando você soma 3x + 4y - 3x - y, os 3x vão se cancelar. Pois, 3x - 3x dá "0", não vou nem escrever isso. Você tem 4y - y, isso é 3y. Isso será igual a dois reais e oitenta e quatro centavos menos um real e setenta e nove centavos. Quanto isso dá? Isso é 1,05. Assim, 3y é igual a 1,05. Divida os dois lados por 3, y é igual a, quanto é 1,05 dividido por 3? 3 cabe em 1,05? Não cabe nenhuma vez. 0 vezes 3 é 0, 1 - 0 é 1, desce um zero, 3 cabe em "10" 3 vezes, 3 vezes 3 é 9, subtraia 10 - 9 é 1 desce o 5, 3 cabe em "15" 5 vezes, 5 vezes 3 é 15. Subtraia, não temos resto. Então, y é igual a 0,35 ou trinta e cinco centavos. Portanto, o custo de uma bala de fruta é de 35 centavos. Podemos substituir isso de volta em qualquer uma das equações para descobrir qual o preço de um doce. Vamos usar essa equação de baixo, que era originalmente, se lembra antes de multiplicá-la por -1? Era 3x + y igual a R$1,79. Isso significa que 3x mais o preço de uma bala de fruta, 35 centavos, é igual a um real e setenta e nove centavos. Se subtrairmos 35 centavos dos dois lados, aqui temos o lado esquerdo, você terá apenas 3x, esses se cancelam, é igual a, vejamos isso é R$1,79 menos 0,35, isso é igual a 1,44, e 1,44 dividido por 3, 3 não cabe em 1,44 nenhuma vez, "0" vezes 3 é "0", desça o 1, subtraia, abaixe o 4, 3 cabe em "14" 4 vezes, 4 vezes 3 é 12, está meio confuso. 14 - 2 é 2. Desça o 4, 3 cabe em "24" 8 vezes, 8 vezes 3 é 24, sem resto. Portanto, x é igual a 0,48. Pronto! Descobrimos através da eliminação que o custo de um doce é igual a 48 centavos e que o custo de uma bala de fruta é 35 centavos.