Usando a Transformada de Laplace para resolver uma equação não homogênea

RKA14C Faz um tempo que eu fiz a primeira lista de vídeos de equações diferenciais. Neste vídeo, vou resolver uma equação linear não homogênea usando a Transformada de Laplace. Então, primeiro vamos fazer um aquecimento, porque já faz um tempo que não falamos sobre esse assunto. Vamos dizer que eu tenho a seguinte equação, vamos dizer que eu tenho: y" + y = sen 2t. Também temos as condições que y(0) = 2, e que o y'(0) = 1. Bom, para resolver, usaremos a Transformada de Laplace dos dois lados. Além disso, usaremos a Transformada de Laplace inversa. Vamos fazer isso, então. Vamos ver que isso vai ficar um pouco mais claro conforme formos fazendo. Bom, nos últimos vídeos, eu mostrei para você a Transformada de Laplace (L) da segunda derivada de y. A Transformada de Laplace da segunda derivada de y... Vamos fazer aqui. ...da segunda derivada de y é s²... Então, isto aqui é igual a: s² vezes L{y} menos sy(0) menos y'0. Ou seja, a Transformada de Laplace da nossa segunda derivada será isso que eu acabei de marcar aqui em rosa. Bom, a gente pode reescrever essa expressão grande porque isso é uma questão de notação. Eu poderia escrever tudo isso como sendo: s² vezes Y(s) menos sy(0) menos y'(0). Bom, aqui nestes dois lugares, eu tenho números, certo? Tenho y(0) e y'(0). Isso que eu tenho aqui não são funções. Sabemos quais são esses valores, temos aqui as nossas condições iniciais, y'(0) = 2... Perdão, y(0) = 2. E y'(0) = 1. Bom, primeiro vamos pegar a Transformada de Laplace daquele primeiro termo y", ou seja, a segunda derivada de y. Então, fazendo isso, tenho: s² vezes Y(s) menos 2s. Substituímos aqui esse valor de y(0) por 2, que é o valor da nossa condição inicial. Isso tudo menos -1. Agora, fazendo aqui em uma cor diferente, eu vou ter mais Y(s)... Para você não se confundir, esse Y(s)... Vamos fazer aqui, vou fazer aqui do lado. A Transformada de Laplace de y é esse Y(s), que eu marquei aqui. Vou deixar aqui do lado para a gente não se confundir. Bom, agora isso aqui. Ao que isso será igual? Bom, isso vai ser igual a L. Para você se lembrar, nós já vimos a Transformada de Laplace de seno de a vezes t. L = a / s² + a². Então, L = 2 / s² + 4. E, aqui deste lado, posso simplesmente colocar 2 / s² + 4. Bom, o que podemos fazer agora é separar todos os nossos termos de Y(s), e fatorar os seus coeficientes. Fazendo isso... Bom, vamos continuar com a cor que estava antes e pegar um pouco mais de espaço. Vamos continuar, então. Fazendo isso... Vamos fatorar, então, temos: (s² + 1), aqui é como se eu estivesse colocando em evidência, vezes Y(s), que é o nosso... Vamos fazer em uma cor diferente esse Y(s). Vamos deixar na cor que colocamos aqui. Então, vezes Y(s). O restante, podemos adicionar ao 2s + 1. Eu posso fazer isso dos dois lados, mas primeiro eu vou fazer por partes para a gente não se confundir. Então, isto aqui... Eu ainda tenho... Vamos fazer aqui de uma outra cor. Eu ainda tenho aqui menos 2s - 1, e tudo isso é igual a 2 / s² + 4. Como eu disse antes, podemos adicionar 2s + 1 dos dois lados para cancelarmos este 2s + 1 que temos aqui. Então, fazendo isso, continuando com as mesmas cores com que fizemos antes, temos: (s² + 1) vezes Y(s), que vai ser igual a 2 / s²... Perdão, mais 4, e aqui mais 2s + 1. Agora podemos dividir ambos os lados da nossa equação por s² + 1. Assim, obtemos a Transformada de Laplace de y. Então, fazendo aqui, eu tenho Y... Vamos fazer aqui: Y(s) = 2 / (s² + 4), isso vezes (s² + 1). E eu tenho ainda mais: 2s / s² + 1. E, aqui, mais 1 / s² + 1. Bom, eu preciso agora de uma fração simples. Vou fazer uma decomposição em partes, em frações parciais para conseguirmos essas frações simples. Essa é a parte mais difícil do nosso problema. Vamos fazer isso, então. Vamos quebrar o nosso (s² + 4) vezes (s² + 1). Se vamos fazer isso... Bom, aqui, em uma cor diferente, eu tenho que quebrar esse 2 / (s² + 4) vezes (s² + 1). Eu tenho que quebrar isso em duas frações. Uma fração em que eu tenha s² + 4 no denominador, e outra em que eu tenha s² + 1 no denominador. Se os denominadores são de grau 2, o numerador deve ser de grau 1. Eu poderia escrever isso como sendo: As + B, Cs + D. Bom, agora eu preciso encontrar os valores de A, B, C e D. Se eu começar somando essas frações, vamos ver o que eu tenho. Eu vou fazer aqui embaixo para termos bastante espaço. Então, fazendo aqui de verde, eu tenho... Somando essas duas frações, eu teria: (As + B) vezes (s² + 1), isso mais (Cs + D) vezes (s² + 4). E o meu denominador vai ser: (s² + 4) vezes (s² + 1). Bom, vamos multiplicar tudo isso, então. Multiplicando tudo isso, eu vou fazer aqui de um jeito que você consiga entender, escrito de forma que você consiga entender bem o que está acontecendo. Então, teríamos: As³ + As + Bs² + B. A nossa segunda multiplicação seria: Cs³ + 4Cs + Ds² + 4D. Bom, eu escrevi desse jeito para você entender bem a questão dos graus aqui. Agora, se eu somasse todos os numeradores, eu teria então aqui... Vamos colocar o s³ em evidência. Então, temos: (A + C) vezes s³, mais (B + D) vezes s², mais (A + 4C) vezes s, mais (B + 4D). Isso é só o nosso numerador. Vou até marcar aqui. Isso é o numerador. "Numerador". Ainda não falamos do denominador. Bom isso, como eu disse, isso é o numerador. Aqui embaixo, vou escrever... Eu vou fazer em verde como fizemos antes. Isto aqui é sobre o nosso denominador, que é (s² + 4) vezes (s² + 1). Bom, e isso... Vou fazer aqui do lado. Isso vai ser igual a: 2 / (s² + 4) vezes (s² + 1). Isso tudo é igual a isto tudo aqui. Você deve estar se perguntando por que eu fiz toda essa confusão. Bom, desse jeito, conseguimos resolver. Conseguimos encontrar os valores de A, B, C e D. Então, vamos fazer... Vou pegar mais espaço. Vamos dizer que eu tenha A + C = 0. Mas por que será igual a zero? Porque não temos um coeficiente s³ no nosso numerador. Então, A + C = 0. Perceba que isso vai acontecer também onde temos s² e onde temos o s. Então, A + C = 0. Também podemos dizer que B + D = 0 porque não temos s². Agora, temos A + 4C, que são coeficientes de s. Então, A + 4C. Mas também não temos s no numerador. Logo, A + 4C = 0. Agora, o que sobraram foram os termos constantes que temos. B + 4D. B + 4D vai ser igual ao valor que temos no numerador, que é o valor 2. Então, B + 4D = 2. Bom, agora fica fácil, só precisamos subtrair. Vou fazer A + C menos A + 4C. Então, a gente tem aqui -3C = 0, logo, C = 0. Bom, se C = 0, temos que A + C = 0 e A = 0. Então, A = 0. Agora vamos resolver aqui. B + D = 0. B + 4D = 2. Fazendo essa conta, temos zero. B - B = 0, menos 3D, igual a -2, estou subtraindo. Então, temos aqui D = 2/3. D vai ser igual a 2/3. Para sabermos o valor de B, só precisamos substituir. Então, podemos fazer: B + D = 0, B = -D... Então, B = -2/3. Bom, temos os nossos valores. Depois de muito trabalho, conseguimos encontrar os nossos valores. Conseguimos encontrar o valor de B e o valor de D. Agora que fizemos isso, vamos voltar ao nosso problema original. Podemos escrever, então... Vamos pegar espaço aqui. Podemos escrever, então, como sendo: 2 / (s² + 4) vezes (s² + 1), igual a -2/3 / s² + 4, mais 2/3 / s² + 1. Tudo isso que eu fiz aqui foi para quebrar esse 2 / (s² + 4) vezes (s² + 1). Depois que fizemos tudo isso, o que temos, então? Temos que voltar lá ao nosso Y(s). Então, vamos fazer aqui embaixo. Vamos fazer aqui na cor com a qual estávamos fazendo antes. Y(s) = -1/3 vezes (2 / s² + 4)... Essa é a nossa primeira Transformada de Laplace, que é L. ...mais 2/3 vezes (1 / s² + 1). Essa é a nossa L. Vou até marcar aqui. Seno de t, perdão. E, aqui, seno de 2t. Bom, isso foi o nosso primeiro termo. Ainda temos mais dois termos para somar. Então, aqui ainda temos mais: 2 vezes (s / s² + 1), mais 1 / s² + 1. Se pegarmos a Transformada de Laplace inversa de tudo, saberemos o que é Y. Eu vou fazer umas anotações para não nos confundirmos. Vou fazer aqui em azul. Tenho L como sendo a / s² + a². E tenho L como sendo s / s² + a². Bom, vamos lá! A Transformada de Laplace da inversa de y é y. Eu vou escrever aqui como sendo y(t). Vou marcar, vou fazer em rosa. y(t) = -1/3 vezes sen 2t mais 2/3 vezes sen t. Agora, eu vou usar L. Então, temos: mais 2 cos t mais sen t. Isso é a Transformada de Laplace de sen t. Bom, podemos fazer mais algumas simplificações. Podemos somar 2/3 sen t com sen t. Então, teríamos 2/3 + 1. Isso seria y(t) = -1/3 vezes sen 2t, mais... 2/3 + 1 = 5/3. ...5/3 vezes sen t, mais 2 cos t. Bom, esse foi um problema bem difícil. Levamos bastante tempo para conseguir resolver. Mas você pode perceber que no final encontramos uma resposta bem bonita para um problema que foi bem complicado. Utilizamos álgebra principalmente, foi um bom jeito de relembrarmos as equações diferenciais!