Usando o Teorema de Convolução para resolver um problema de valor inicial

RKA7MP - Agora que a gente sabe um pouco sobre a integral de convolução e como ela se aplica à transformada de Laplace, vamos tentar resolver uma equação diferencial usando que a gente sabe. Eu tenho a seguinte equação: eu tenho a segunda derivada de "y" mais 2 vezes y', mais 2 vezes "y", que isto era igual a seno de alfa "t", e a gente tinha condições, que eu tenho "y" de zero é igual a zero, e y' de zero é igual a zero também. Vamos ao problema. A primeira coisa a se fazer é tirar a transformada de Laplace dos dois lados da equação. Vamos lá, vamos fazer isso. Eu tenho aqui s² Y(s) menos sy(0), menos y'(0), e esta é a transformada de Laplace da segunda derivada. Agora, a gente tem que pegar a de 2y'. A gente tem aqui mais 2 vezes s Y (s), menos y(0), e agora, a transformada de Laplace de 2y, vou até fazer em uma cor diferente, a gente tem aqui +2Y(s), e isto vai ser igual à transformada de Laplace de seno de alfa "t", (αt). Então aqui, igual à transformada de Laplace de seno de αt, que a gente já viu, que seria α sobre s²... α sobre (s² + α²). Nós já fizemos isto muitas vezes. Agora, vamos separar os termos da transformada de Laplace de "y" ou termos de y(s). Vamos aproveitar e nos livrar das condições iniciais. A gente pode se livrar, vamos ver, disto aqui, disto aqui e disto aqui. A expressão toda, então, vai ser s² Y(s) mais 2s Y(s), mais 2Y(s), que é igual a α sobre s² + α². Vamos fatorar Y(s). Vou trocar de cor, vamos fatorar isto. A gente tem s² mais 2s, mais 2, vezes Y(s), igual a α sobre s² + α². Vamos dividir os dois lados por isto aqui. A gente tem que Y(s) é igual a α sobre s² mais α². vezes 1 sobre s² + 2s + 2. O que a gente pode fazer aqui? Lembre-se que eu estava fazendo isto no contexto da convolução. Eu quero procurar a transformada de Laplace que parece com o produto de duas transformadas de Laplace. E eu sei qual é a transformada de Laplace inversa disto aqui. Vai ser seno α de "t". Eu posso expressar Y(s) como uma integral de convolução, mesmo que eu, não necessariamente, resolva essa integral. Daqui para a frente é só cálculo. Vamos tentar colocar isto em termos de uma integral de convolução. O que eu posso fazer com 1 sobre s² + 2s + 2? Isto que a gente tem aqui não é um quadrado perfeito. Então, a melhor coisa que eu posso fazer em seguida é tentar completar este quadrado, e a gente vai tentar fazer isso, vamos ver se a gente consegue. Eu posso escrever isto como sendo s² mais 2s, mais alguma coisa, isto aqui mais 2. Vamos colocar 1 aqui no lugar de alguma coisa. A gente vai ter s² mais 2s, mais 1, isto vai ser igual a +2 menos 1, não posso simplesmente colocar uma coisa de um lado e não colocar do outro, e a gente fica com "s"... (s + 1)², mais 1. Agora, a gente pode reescrever o Y(s). Y(s) vai ser igual a α sobre s² + α², isto aqui vezes 1 sobre (s + 1)², mais 1. Eu disse que eu já sabia qual era a transformada de Laplace de α sobre s² + α². Agora, eu preciso saber a transformada de Laplace inversa disto. E eu posso expressá-la como uma integral de convolução. E como eu faço isso? Eu poderia dizer que, vou fazer em branco, que y(t) é igual à transformada de Laplace inversa de, vamos dizer que eu tenha Y(s), que vai ser igual à transformada de Laplace inversa de α sobre s² + α², vezes 1 sobre (s + 1)², mais 1. E agora, o teorema da convolução diz que aquilo vai ser igual à transformada de Laplace inversa do primeiro termo do produto. A gente tem que isto vai ser igual à transformada de Laplace inversa de α sobre s² + α² em convolução com a transformada de Laplace inversa do segundo termo. Então, a transformada de Laplace inversa de 1 sobre (s + 1)², mais 1. E, se eu tenho o produto de 2 transformadas de Laplace, eu posso tirar cada uma delas independentemente. Eu posso inverte-las e isso vai ser igual à convolução das transformadas de Laplace inversa de cada uma delas, ou seja, de cada um dos termos. Acho que você captou a ideia que eu estou tentando passar, não é? Eu tenho estas duas coisas que, independentemente, eu posso tirar a inversa de cada uma delas. Logo, a transformada de Laplace do seu produto vai ser a convolução de cada uma das suas transformadas inversas. Agora, o que é isto que a gente tem aqui? A transformada de Laplace inversa disto vai ser seno... seno de αt em convolução com a transformada de Laplace inversa disto aqui. Vamos fazer aqui ao lado. Aqui. Vamos fazer em amarelo. A transformada de Laplace de seno de "t" é igual a 1 sobre s², mais 1. Aparece bem igual o que a gente tem, mas a gente foi deslocada por causa deste 1 que a gente tem Você se lembra da transformada de Laplace, por exemplo, de eᵃᵗ vezes o seno de "t". A gente já viu isto em outros vídeos. Quando você multiplica por isto, a gente desloca a transformada de Laplace. Isto vai ser igual a 1 sobre (s - a²) mais 1. Agora, a gente tem algo bem parecido, se a gente fizer igual a -1, a gente vai ajustar o padrão. Voltando aqui, a gente tem seno de αt em convolução com e⁻¹ᵗ, seno de "t". Esta é solução da equação diferencial, apesar de que esta não é uma forma muito agradável de se ver. Isso aqui é igual a y(t). E agora, se a gente quisesse expressá-la como uma integral? Eu não vou resolver a integral aqui, mas vamos lá. Qual é a convolução destas duas? Pegando aqui uma outra cor, a gente vai dizer que isto é igual à integral de zero at de seno de "t"... seno de "t" menos tau (τ), vezes α, "e" na menos τ, seno de "τ" dτ. Este é um modo, de fato, você deve pensar que deve ser meio óbvio, que pode ser escrito de qualquer jeito, porque a ordem dos fatores não vai alterar o produto. E gente também poderia ter escrito isto como sendo... como sendo e⁻ᵗ, seno de "t", em convolução com seno de αt que era igual à integral... integral de "e" na -t -τ vezes seno de t - τ, isso aqui, seno de α vezes τdτ. Qualquer uma destas respostas seria aceitável. Eu espero que este segundo exemplo com a convolução para resolver a transformada de Laplace tenha clareado um pouco mais as coisas para você.