Equações separáveis (antigo)

RKA2G - Nesse ponto, a gente espera saber o que é uma equação diferencial. Então, vamos tentar resolver algumas. Esta primeira classe de equações diferenciais que vou te apresentar são chamadas de "equações separáveis". E você vai ver que nós não estamos aprendendo nada de novo: a gente vai usar o primeiro ano de cálculo com integrais e derivadas. A razão por que nós chamamos essas equações de separáveis é que você consegue separar os termos de "x' e "y" e depois integrá-los para obter uma solução da equação diferencial. Vamos falar de equações separáveis. Estes exercícios são, nada mais nada menos, que exercícios de álgebra. A primeira equação separável que vamos ver é: dy/dx igual a x²/1 - y². Aqui é uma boa hora para a gente rever as terminologias. Primeiro: qual é a ordem desta equação diferencial? A maior derivada é apenas a primeira. Então, a ordem é 1. Vamos colocar aqui: primeira ordem. Segundo: isto é ou não é linear? Olhando assim, você deve pensar que parece linear. Mas, se você olhar com cuidado, vai perceber que é uma coisa bem interessante que acontece, uma coisa bem interessante está acontecendo aqui. Primeiro de tudo, você tem y². E "y" é a variável dependente, "y" é uma função de "x". Se eu multiplicar ambos os lados da equação por 1 - y², a gente teria... Vou fazer aqui, de outra cor. A gente teria: (1 - y²) de dy/dx igual a x². Isso faz com que a equação não seja linear, porque você está multiplicando os dependentes vezes a derivada deles. Ok, vamos resolver isso. O primeiro passo eu já fiz, que foi multiplicar ambos os lados por 1 - y². O objetivo final aqui é separar os "y" dos "x" e, depois, a gente integra os dois lados. Agora, o que eu quero fazer é multiplicar os dois lados da equação por dx. Vamos ver o que a gente consegue fazer. Temos aqui: (1 - y²), vezes dy, igual a x²dx. Eu separei as variáveis "x" e "y" e os diferenciais. Agora eu posso integrar ambos os lados. Fazendo isso, eu posso simplesmente colocar uma integral aqui. E qual é a integral da expressão em relação a "y"? Vamos ver isso agora. A integral de 1 é "y". y² é y³/3. Então, nós temos... Vou fazer aqui do lado. y - y³/3, isto aqui mais... Eu vou escrever cy aqui e, depois, você vai entender por quê. Mais cy. E isto vai ser igual... Vou pegar um pouquinho mais de espaço. Isto vai ser igual a x³/3 + cx. Agora vamos subtrair os "c" dos dois lados. Então, temos que isto é igual a: y - y³/3, que é igual a x³/3 + cx - cy. Isto que eu tenho aqui são duas constantes que nós não sabemos o que são. Então, podemos substituir por somente "c". Você vai ter uma constante, mas ela não vai estar dos dois lados da equação, porque elas são arbitrárias. Se a gente quiser simplificar mais esta equação, podemos multiplicar ambos os lados por 3. Vou começar a fazer em outra cor. Se fazemos isso, temos, então: 3y - y³ = x³ + c. Bom, resolvemos esta equação diferencial. Ela está em uma forma implícita que é bem difícil de tirá-la. Mas vamos tentar mesmo assim. Vamos passar o x³ para o lado esquerdo. Temos, então: 3y - y³ - x³ = c. A solução é uma classe de implícitos. E por que é uma classe? Isso é porque eu tenho uma constante ali. Dependendo do número que você escolhe, você vai ter uma outra solução. Mas qualquer constante vai satisfazer a equação diferencial original. Se você quiser resolver esta constante, vai precisar de uma condição inicial, alguém vai ter que te falar que, quando "x" é 2, "y" é 3 e, a partir daí, você resolve "c". Vamos fazer um outro exemplo assim. Vou pegar um pouco mais de espaço, pegar uma tela limpa. Eu tenho aqui: dy/dx, que é igual a 3x² + 4x + 2 sobre (2y - 1). E a gente tem a condição que y(0) = -1. Vamos separar esta equação, vamos multiplicar os dois lados por 2 vezes (y - 1). Então, temos aqui: 2 vezes (y - 1) de dy/dx que é igual a 3x² + 4x + 2. Agora eu vou multiplicar os dois lados por dx. Então, eu posso simplificar isto. Eu tenho: (2y - 2) vezes dy é igual a (3x² + 4x + 2), isto vezes dx. Eu separei as equações, agora posso integrá-las. Nós podemos integrar. Qual é a antiderivada disto em relação a "x"? A antiderivada disto em relação a "x" vai ser: y² - 2 é igual a x³ + 2x² + 2x + c. Agora podemos encontrar usando a condição inicial: quando "x" é igual a zero, "y" é -1. Vou marcar aqui: x = 0, y = -1. Vamos lá, vamos fazer isso. Vou até mudar de cor. Eu tenho, então: (-1)² - 2(-1) é igual a 0³ + 2 vezes 0² + 2 vezes 0 + c. Aqui vai sobrar: 1 + 2 = c. Então, c = 3. A solução exata implícita, a solução da equação diferencial. Se você quiser, pode escrever isto da forma explícita, que ficaria: y² - 2y igual a x³ + 2x² + 2x + 3. Esta é a solução da equação diferencial, mas a forma explícita seria: y² - 2y +1 é igual a x³ + 2x² + 2x + 4. Eu adicionei 1 nos dois lados da equação porque queria que o lado esquerdo fosse um quadrado perfeito em termos de "y". Sendo assim, se a gente reescrever... Fazer aqui também de uma cor diferente. Se reescrevermos, nós temos: (y -1)² é igual a x³ + 2x² + 2x + 4, y -1 vai ser igual a mais ou menos a raiz de: x³ + 2x² + 2x + 4. "y" vai ser igual a 1, mais ou menos a raiz de x³ + 2x² + 2x + 4. Agora precisamos voltar à condição inicial, que a gente viu que, quando y(0), era igual a -1. Se a gente colocar o zero em "x", vamos ter... Vamos fazer aqui do lado mesmo. Quando temos isso, ficamos com y = 1, mais ou menos a raiz de 4. "y" vai ser igual a 1 mais ou menos 2. Isto para ser igual a -1. Eu preciso ter 1 - 2 para que isto satisfaça a condição inicial. Bom, era isso que eu tinha para falar, já estamos passando um pouquinho do tempo. Até o próximo vídeo!