Equações homogêneas de primeira ordem 2

RKA2G - E aí, pessoal! Vamos ver mais uma equação diferencial aqui. Eu vou colocar: dy/dx é igual a x², mais 3y², dividido por 2 vezes "x" vezes "y". Mas o grande desafio aqui nesta equação é colocá-la na forma y/x, para a gente poder fazer a substituição. A primeira coisa que eu vou fazer é multiplicar em cima e embaixo por 1/x². Multiplicando em cima e embaixo, vamos ficar com: 1/x² em cima e 1/x² embaixo. Isto vai ser igual a: 1 + 3y², sobre x², isso tudo sobre 2 vezes "y" sobre "x". E eu posso ajeitar ainda. e vou colocar isto igual a 1, mais 3, que multiplica "y" sobre "x", isso tudo ao quadrado, sobre 2 vezes "y" sobre "x". Finalmente conseguimos achar uma fração y/x, aqui embaixo e aqui em cima. E, finalmente, vamos poder fazer a substituição em "v" que tanto queríamos. Vamos fazer a substituição. Eu vou chamar de "v". v = y/x. Multiplicando ambos os membros por "x", chegamos a um valor de "y" igual a vx. E, derivando "y", ficamos com: dy/dx igual a v + x, vezes dv/dx. Isso porque eu utilizei a regra do produto neste vx. Agora vamos substituir esta derivada na parte da direita e vamos ficar com: v + xv' (eu chamei de v', mas é a mesma coisa que dv/dx), isto vai ser igual a 1 + 3, vezes... Isto aqui eu vou substituir por "v", então, vamos ficar com: v², sobre 2 vezes "v". Agora eu vou mexer algebricamente nisto, para chegar a uma equação separável, que eu posso integrar ambos os lados e resolver. Multiplicando ambos os membros por 2v, vamos ficar com: 2v², mais 2xvv', isto vai ser igual a 1 + 3v², e, subtraindo v² em ambos os membros, vamos ficar com 2xvv' igual a 1 + v². Agora, dividindo ambos os membros por 1 + v², vamos ficar com: 2xvv', sobre 1 + v². Isto é igual a 1. E, dividindo ambos os membros da equação por "x", vamos ficar com: 2vv', sobre 1 + v², é igual a 1/x. Agora, finalmente, podemos reescrever com a nossa notação. Eu vou colocar: 2 vezes "v", sobre 1 + v², vezes dv/dx é igual a 1/x. E, multiplicando ambos os membros da equação por dx, vamos ficar com 2v sobre 1 + v² dv, igual a 1/x vezes dx. Finalmente, podemos integrar ambos os membros da equação. Como temos 1 + v² no denominador, a integral disto vai ser: ln(1 + v²) (eu não coloquei no módulo porque isto sempre vai dar positivo) E isto vai ser igual a ln do módulo de "x", mais ln da constante "c". Eu já vou explicar por que eu coloquei aqui dentro do ln. Não vai fazer muita diferença. Vou colocar esta expressão um pouco para cima, para não ficar tão embolado. Neste lado direito, temos a soma e dois logaritmos com bases iguais. Então, podemos reescrevê-los como a multiplicação dos logaritmandos. Vou colocar aqui: ln(1 + v²) é igual a ln do módulo de cx. Foi por isso que eu coloquei ln desta constante. Se estes logaritmos são iguais, necessariamente os logaritmandos têm que ser iguais. Então, eu vou colocar aqui: 1 + v² = cx. E agora, vamos voltar à substituição, que era v = y/x e vamos ficar com: 1 + (y/x)² é igual a cx. Eu vou reescrever isto e vamos ficar com: 1 + y²/x² (eu utilizei a propriedade de potência aqui) igual a cx. Multiplicando toda a equação por x², ficamos com: x², mais y², é igual a cx³. Eu posso reescrever como: x² + y² - cx³ igual a zero. Finalmente, a solução foi esta. É um método um pouquinho trabalhoso, mas bastante eficaz. Enfim, pessoal, eu vou ficando por aqui.