Fatores integrantes 1

RKA14C O que se aprende em equações diferenciais, na verdade, é um conjunto de truques. Eu vou mostrar para vocês um desses truques agora. Enfim, o que vamos aprender hoje é o que chamamos de fator integrante. Vamos dizer que temos uma equação da forma: (3xy + y²) + (x² + xy) vezes y', tudo isso igual a zero. Você pode pensar que essa é uma equação exata. Como você faz para testar se ela é exata? Nós já vimos esse teste. Vamos fazer o seguinte, vamos chamar de My a derivada parcial em y. Vamos dizer que isto aqui é a nossa função M, e esta aqui é o nosso N. Eu vou calcular a derivada parcial de y como My, que vai ser igual... Se eu calcular a derivada parcial disto aqui, eu vou ficar com: 3x + 2y, isso porque eu derivei em relação a y. Se eu derivar em relação a x, eu vou ter que o Nx vai ser igual a: 2x + y, isso porque, se eu derivar em relação a x aqui, vou derivar isto aqui, que vai dar 2x, e aqui eu vou aplicar a regra do produto, mas considerando o y como constante. Então, chegamos à conclusão de que o My é diferente do Nx. Ou seja, My é diferente do Nx. Então, a equação não é exata. Temos que proceder de outra maneira. Pensa comigo, imagina que existe uma função, e que eu vou multiplicar os dois lados dessa equação por essa função, e transformá-la em equação exata. Vamos chamar isso de fator integrante. Vamos dizer que a nossa função, seja o que a gente chama de µ. Esta letra aqui é o mi. Eu vou multiplicar os dois lados. Então, vai ser: µ vezes (3xy + y²) + µ(x), que multiplica (x² + xy), vezes a derivada de primeira ordem, tudo isso igual a zero. Porque, se eu multiplicar o µ(x) por zero, vai acabar dando zero mesmo. Então, o que estamos fazendo é multiplicar toda a equação por um fator integrante de modo a torná-la exata. Então, a derivada parcial disto aqui em relação a y, tem que ser igual à derivada parcial disto aqui em relação a x. Então, se eu derivar este aqui em relação a y, que é a derivada parcial de y, o µ(x) é como uma constante. Então, eu vou colocar o µ(x) como se fosse uma constante. Eu vou colocar aqui que o µ(x)... O µ(x) vai ser uma constante multiplicada pela derivada parcial disto aqui em relação a y, que vai ser: 3x + 2y. E, se eu derivar isto aqui em relação a x, como eu tenho duas funções aqui, eu tenho que utilizar a regra do produto de derivadas. Então, vou ficar com a derivada da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Então, eu vou colocar aqui: µ'(x) vezes (x² + xy) + µ(x), que é a primeira função, vezes a derivada da segunda função, que vai ser 2x + y. Se eu multipliquei pelo fator integrante, que é µ(x), a fim de tornar esta equação aqui exata, então o M(y) tem que ser igual ao N(x). Ou seja, isto aqui tem que ser igual a isto aqui. Então, vou colocar o sinal de igual aqui. Dando uma ajeitada nessa equação, podemos colocá-la como: µ(x) que multiplica (3x + 2y), menos µ(x) que multiplica (2x + y), isso vai ser igual a µ'(x) vezes (x² + xy). Ajeitando o lado esquerdo, ficamos com: µ(x) que multiplica (3x + 2y - 2x - y), e isso tudo é igual a µ'(x) que multiplica (x² + xy). Ajeitando os termos entre parênteses e também colocando o x em evidência aqui, nós ficamos com: µ(x) que multiplica (x + y), e isso tudo vai ser igual a µ'(x) que multiplica x vezes (x + y). Agora eu posso dividir ambos os membros da equação por "x + y". Posso cancelar aqui e também aqui. E acabo ficando com: µ(x) = µ'(x) vezes x. E posso reescrever da seguinte maneira, eu posso dizer que: µ(x) = dµ / dx vezes x. Olhando bem aqui, eu posso dividir ambos os membros da equação pelo x, e acabo ficando com: µ(x) / x = dµ / dx. Eu vou puxar uma seta aqui para não ficar tão embolado. Vou dividir agora ambos os membros da equação por µ(x). E vou ficar com: 1 / x = 1 / µ vezes dµ / dx. Posso multiplicar ambos os membros da equação por dx, ficando com: 1 / x vezes dx igual a 1 / µ vezes dµ. Se você quiser, pode integrar ambos os lados da equação e também achar o logaritmo natural de x. Você vai chegar na mesma resposta, que é µ(x) = x. Então, µ(x) = x. Este aqui é o nosso fator integrante. E se eu quisesse transformar esta equação aqui em uma equação exata, eu teria que multiplicar ambos os membros da equação por este fator integrante aqui. Enfim, pessoal... até o próximo vídeo!