Derivação de potências fracionárias

RKA3JV - Nós temos aqui esta função h(x) sendo igual a 5 vezes "x" elevado a 1/4, mais 7. O que nós queremos aqui, neste vídeo, é determinar h'(16). Ou seja, a derivada desta função quando x = 16. Uma coisa que a gente pode começar é determinado a derivada desta função. O que nós queremos aqui é h'(x). Certo? E como é que a gente consegue determinar a derivada desta função? Bem, aqui nós podemos utilizar a regra da potência. Como? A gente pode repetir este 5, porque o 5 a gente pode jogar para fora da derivada e derivar apenas esta variável "x" elevado a 1/4. E qual seria derivada de "x" elevado a 1/4? Como eu falei, a gente pode utilizar a regra da potência. Porque ela é muito poderosa para a gente fazer este tipo de derivada. Assim, a gente vai pegar este expoente e colocar aqui na frente. Então, nós vamos ter 5 vezes 1/4. Certo! Vezes "x" elevado a quanto? Se a gente colocou este expoente aqui na frente, a gente vai precisar pegar este expoente e subtrair 1 aqui. Ou seja, nós vamos ter 1/4 - 1 mais a derivada de 7. No entanto, 7 é uma constante. Ou seja, o 7 não varia à medida que a gente varia o "x". Se o 7 é uma constante, e como a gente já viu isso em diversos vídeos, a derivada de 7 vai ser zero. Já que a derivada de uma constante é igual a zero. Então, tudo isto aqui mais zero. A derivada, então, de h(x), ou seja, h'(x) vai ser igual, basta a gente simplificar isso aqui agora. 5 vezes 1/4 é 5/4, vezes "x" elevado a 1/4 - 1. 1/4 - 1 é a mesma coisa que 1/4 - 4/4, 1 - 4 = -3, então, nós vamos ter -3/4. Beleza! Encontramos aqui a derivada de h(x). Agora, o que precisamos fazer é calcular esta derivada quando x = 16. Para fazer isso, basta substituir o "x" por 16 aqui nesta função, nesta derivada. Nós vamos ter, então, isto sendo igual a 5/4 vezes "x". Só que "x" agora é 16. Então, a gente vai ter aqui 16 elevado a -3/4. Nós podemos melhorar isto aqui um pouco. A gente repete aqui os 5/4 vezes, como a gente tem 16 elevado -3/4, isso vai ser a mesma coisa que 1/16 elevado a 3/4. Novamente, a gente pode melhorar um pouco esta expressão aqui embaixo. E aí, a gente vai ter que isso é igual a 5/4. Ou seja, 5/4 vezes 1/16 elevado a 1/4, em que isso está elevado ao cubo. Isto vai ser igual a 5/4 de 16 elevado a 1/4, é a mesma coisa que a raiz quarta de 16. E a raiz quarta de 16 é igual a 2. Então, isto aqui vai ser igual a 2. Assim, nós vamos ter 2³. Em que 2³ = 8. Então, nós vamos ter 5/4 vezes 1/8 5 vezes 1 é 5. E 4 vezes 8 é igual a 32. Assim, a resposta para esta derivada é 5/32.