Construção de um intervalo t para diferença de médias

RKA12MC – Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. E, neste vídeo, vamos conversar sobre a construção de um intervalo t para diferença de médias. Para começar a pensar sobre isso, vamos dizer que temos duas populações aqui. Esta é a primeira população e esta é a segunda população. Vamos dizer que esta primeira população é uma população de vira-latas caramelo, e [que] esta segunda população seja uma população de chiuauas. Talvez a gente queira saber aqui o peso médio. Então, M₁ vai representar o verdadeiro peso médio da população de vira-latas e M₂ vai representar o peso médio da população de chiuauas. Agora a pergunta que queremos fazer aqui é: qual é a diferença entre essas duas populações, ou seja, entre esses dois parâmetros populacionais? Bem, se não sabemos isso, tudo o que podemos fazer é tentar estimar e talvez construir algum tipo de intervalo de confiança. E é isso que vamos fazer neste vídeo. Então, como vamos fazer isso? Bem, nós já vimos isso ou coisas semelhantes antes. O que você precisa fazer é pegar uma amostra de ambas as populações. Da população 1 aqui, eu pegaria uma amostra n₁. E, a partir disso, eu posso calcular uma média da amostra. Esta é uma estatística que está tentando estimar isso, e também posso calcular um desvio-padrão da amostra. Aí, eu posso fazer a mesma coisa com a população de chiuauas, que é a nossa população 2 aqui. Então, eu poderia pegar uma amostra desta população aqui, que eu vou chamar de n₂. Aí, a partir disso, eu posso calcular uma média dessa mostra, ou seja, teremos um ͞x₂ aqui, e também um desvio-padrão dessa amostra. Agora que já temos isso, vamos supor que nossas condições para inferência já foram atendidas. Sendo assim, já atendemos aqui à condição aleatória, à condição normal e à condição de independência. Supondo que essas condições foram atendidas, vamos pensar sobre como podemos construir um intervalo de confiança. Podemos construir esse intervalo através da expressão ͞x₁ menos ͞x₂ mais ou menos algum valor Z vezes o desvio-padrão. No caso, esse desvio-padrão é a distribuição de amostragem da diferença das médias da amostra, ou seja, ͞x₁ menos ͞x₂. Você deve estar com uma dúvida agora. De onde saiu esse Z? Bem, nosso nível de confiança vai determinar isso. Vamos anotar isso aqui. O nível de confiança é o que vai determinar esse Z. Se nosso nível de confiança for 95%, isso vai determinar o nosso Z. Bem, isso aqui não está incorreto, mas a gente tem um problema. A gente precisa estimar aqui qual é o desvio-padrão da distribuição amostral da diferença entre nossas amostras. Para deixar isso claro, vou escrever isso aqui de outra forma. A variância da distribuição amostral da diferença de nossas amostras é igual à variância da distribuição de amostragem da média da amostra 1 mais a variância da distribuição amostral da média da amostra 2. Agora, se a gente souber os verdadeiros desvios-padrões subjacentes dessa população aqui e dessa população aqui, poderemos calcular isso facilmente. Aí, nesse caso, isso aqui vai ser igual à variância da população 1 dividido pelo tamanho da nossa amostra n₁ mais a variância da população 2 dividido por esse tamanho de amostra, que nesse caso é n₂. Só que não conhecemos essas variâncias, aí a gente precisa estimá-las. Nós as estimamos com os nossos desvios-padrões da amostra. Assim, podemos dizer que isso vai ser aproximadamente igual ao desvio-padrão da primeira amostra ao quadrado sobre n₁ mais o desvio-padrão da segunda amostra ao quadrado sobre n₂. Dessa forma, podemos dizer que uma estimativa do desvio-padrão da distribuição amostral da diferença entre nossas médias das amostras vai ser aproximadamente igual à raiz quadrada disto aqui. Ou seja, vai ser aproximadamente igual à raiz quadrada de S₁ ao quadrado sobre n₁ mais S₂ ao quadrado sobre n₂. Até aí tranquilo! O problema é que, uma vez que usamos essa estimativa que podemos calcular, um valor Z crítico não vai ser tão bom quanto um valor crítico de t. Então, em vez disto aqui, podemos encontrar um intervalo de confiança com a expressão ͞x₁ menos ͞x₂ mais ou menos um valor t crítico, em vez de um valor Z... O valor t crítico funciona melhor quando você está estimando o desvio-padrão da distribuição amostral da diferença entre as médias da amostra. É por isso que usamos ele aqui... Assim, temos aqui um t estrela vezes nossa estimativa disso, que vai ser igual à raiz quadrada de S₁ ao quadrado sobre n₁ mais S₂ ao quadrado sobre n₂. Aí você deve estar se perguntando agora: “Como determinamos o nosso t estrela?”. Bem, mais uma vez, você precisa procurar em uma tabela usando o seu nível de confiança. Você pode estar dizendo agora o seguinte: “Espere, espere. Quando eu busco um valor t, eu não olho apenas para o nível de confiança. Eu também preciso olhar para os graus de liberdade”. Quantos graus de liberdade nós temos nesta situação? Bem, existe uma resposta simples e uma resposta complicada. Uma vez que pensamos sobre a diferença das médias, existem fórmulas muito sofisticadas que os computadores podem usar para obter graus de liberdade mais precisos. Mas o que você normalmente verá em uma aula de estatística é uma visão conservadora de graus de liberdade, em que você pega o valor mais baixo entre n₁ e n₂, e aí você subtrai 1 disso. Então, o grau de liberdade aqui será o valor mais baixo, ou n₁, ou n₂, menos 1. Ou seja, você pega n₁ ou n₂, e aí você subtrai 1 disso. Em vídeos futuros a gente vai resolver alguns exemplos sobre isso, ok? Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!