Regra geral da multiplicação

Quando calculamos probabilidades que envolvem um evento E outro evento ocorrido, nós multiplicamos suas probabilidades.

Em alguns casos, o primeiro evento a acontecer afeta a probabilidade do segundo evento. Chamamos isso de eventos dependentes.

Em outros casos, o primeiro evento a acontecer não afeta a probabilidade do segundo. Chamamos isso de eventos independentes.

Qual é a probabilidade de se jogar uma moeda justa e tirar "cara" duas vezes seguidas? Isto é, qual é a probabilidade de tirar cara na primeira jogada E cara novamente na segunda jogada?

Imagine um experimento em que $100$‍ pessoas simulassem esta situação e jogassem uma moeda duas vezes. Em média, $50$‍ pessoas tirariam cara na primeira jogada, depois, $25$‍ delas tiraria cara novamente. Portanto, $25$‍ das $100$‍ pessoas do início — ou $1/4$‍ delas — tiraria cara duas vezes seguidas.

O número de pessoas com que começamos não importa na verdade. Teoricamente, $1/2$‍ do grupo original tiraria cara, e $1/2$‍ desse grupo tiraria cara novamente. Para calcular a fração de uma fração, nós multiplicamos.

Podemos representar este conceito com um diagrama de árvore, como este logo abaixo.

Nós multiplicamos as probabilidades ao longo dos ramos para calcular a probabilidade geral de um evento E de o evento seguinte ocorrer.

Por exemplo, a probabilidade de tirar "coroa" duas vezes seguidas seria:

Quando dois eventos são independentes, dizemos que

Imagine que vamos jogar dois dados justos de $6$‍ lados.

Podemos usar uma estratégia semelhante mesmo quando estamos lidando com eventos dependentes.

Considere tirar duas cartas, sem reposição, de um baralho padrão de $52$‍ cartas. Isso significa que tiramos a primeira carta, a deixamos de fora do baralho, e então tiramos a segunda carta.

Qual é a probabilidade de as duas cartas selecionadas serem pretas?

Metade das $52$‍ cartas são pretas, então, a probabilidade de a primeira carta ser preta é de $26/52$‍. Mas, a probabilidade de tirar uma carta preta muda na segunda retirada, pois o número de cartas pretas e o número total de cartas diminuíram em $1$‍.

Veja como ficam as probabilidades em um diagrama de árvore:

Então, a probabilidade de as duas cartas serem pretas é:

Uma mesa com $5$‍ alunos do Ensino médio têm $3$‍ alunos do último ano e $2$‍ do primeiro. O professor vai escolher aleatoriamente $2$‍ alunos deste grupo para apresentar as soluções da tarefa.

A barra vertical em $P(\text{B}|\text{A})$‍ significa "sabendo-se", então, isso também poderia ser lido assim: "a probabilidade de B ocorrer sabendo-se que A ocorreu".

Esta fórmula indica que podemos multiplicar as probabilidades de dois eventos, mas que precisamos levar o primeiro evento em consideração ao analisar a probabilidade do segundo evento.

Se os eventos forem independentes, o fato de um deles acontecer não afetará a probabilidade do outro e, neste caso: $P(\text{B}|\text{A})=P(\text{B})$‍.