Provas BC de cálculo AP: 2008 1 c e d

RKA7MP - Agora, vamos fazer a parte "c" do primeiro problema de cálculo no exame BC, na parte de respostas livres. No problema diz que a região "R", esta é a região "R", é a base de um sólido. Eu refiz a região "R" com um pouco de perspectiva. Assim, podemos visualizá-la em três dimensões. Para este sólido, cada sessão é perpendicular ao eixo "x". A secção transversal pode ser feita, você pode cortá-la assim, mas seria paralelo ao eixo "x". Nós queremos cortar perpendicular ao eixo "x", ou paralelo ao eixo "y". Vamos cortar nesta linha. Eles falam que cada secção transversal é perpendicular ao eixo "x", é um quadrado. Eu desenhei alguns aqui. Aqui está um, então, aqui seria base, e já sabemos que a secção transversal é um quadrado. A altura tem que ser igual à base. A mesma coisa aqui. Aqui, a altura será bem grande, porque, talvez seja no ponto máximo em termos de largura da base. Mas ainda é bem largo, então fica estreito novamente. Como descobrir o volume deste sólido? É bem difícil de visualizar e algumas formas são mais fáceis de ver do que de desenhar. Então, terá que me dar um desconto. De qualquer forma, pegamos a área de cada um dos quadrados, e desenhei um deles aqui nesta área de cada um destes quadrados. Multiplique por uma pequeníssima variação de "x" e sabemos que, de tudo que já vimos em cálculo, que é esta pequena variação em "x", tentarei desenhar uma perspectiva, é dx. Se multiplicarmos dx pela área deste quadrado, que é o volume desta parte do sólido inteiro, e se somássemos todos estes infinitesimais sólidos, nós teríamos o volume da coisa toda. Como fazemos isso? Vamos escrever a expressão de integração. Qual é a área de cada um destes quadrados? Qual é a área de cada uma destas secções transversais? A base será a diferença entre as duas funções. Esta função de cima é seno de πx. E a de baixo, logo aqui, é "y" igual a x³ menos 4x. A base das funções, a base da distância aqui será a diferença entre a função de cima e a função de baixo. Cada base será seno de πx menos esta função, que é -x³ mais 4x. Trocando o sinal, -x³ mais 4x. Até agora, é bem parecido com a parte "a". Mas qual é o segredo aqui? Queremos a área. A área de cada quadrado, e não a distância. Qual é a área? A área será a distância ao quadrado. Temos que elevar ao quadrado tudo isto. Esta é a área de todos estes quadrados. Temos que multiplicá-los por um pouco do dx. E isto nos dará o volume de cada uma das partes do sólido. E quais serão os limites? Será a mesma coisa da parte "a". Isto é zero, isto é 2. Os limites são bem claros. Agora, basta calcular. Assim como na parte "b", primeiramente, tentarei resolver de forma analítica, e teremos uma integral bem cabeluda para resolver. E poderá ser resolvida analiticamente, mas terá que saber bastante de trigonometria. Terá que integrar por partes, e você usará todo o seu tempo do exame AP. Já que uma calculadora gráfica é requerida para algumas partes do problema, por que não usamos a calculadora gráfica? Porque ela é muito boa na solução numérica de integrais definidas como esta. Vamos pegar nosso emulador da TI-85 novamente. Vamos nessa! Quero que veja as teclas sendo pressionadas. Ligado. Vamos sair disto, vamos usar a função de cálculo. Então, "second", cálculos. E, agora, esta função aqui, que é a integral definida, é uma integral bastante útil. Pressione F5, integral definida. Agora, é só de digitar a expressão. Deixe-me mover isto um pouco para baixo, abrindo parênteses, seno de, onde está o π? Não uso estas calculadoras faz muito tempo. Aqui está! "Second", πx, seno de πx menos x³, mais 4x. Tudo isto ao quadrado. E, agora, nesta função de integral definida, você tem que dizer qual é a variável independente. Ou você sabe qual é a variável que estamos tentando integrar, e é a variável "x". E, agora, é só dizer os limites de integração, e está pronto. Então, integral de zero, de "x" igual a zero, até "x" igual a 2. Se não cometi nenhum erro, posso apertar "enter" e deixar a calculadora fazer seu trabalho. Vamos ver como isto acaba. 9. Esta é a resposta. Este é o volume do sólido. É 9,9783. Você pode falar que é igual a 9,9783 Estou certo de que eles querem que você use a calculadora, porque, francamente, calcular isso seria muito mecânico, uma matemática bem mecânica, embora bem sofisticada. Mas demoraria séculos. Acho que é o tipo de coisa que querem que você faça. Montar a integral, reconhecer que a área de cada quadrado será esta distância, a distância entre as funções ao quadrado. Então, você integra de zero até 2, vamos ver quanto tempo tenho de sobra. Alguns minutos. Vamos fazer a parte "d". Eu quero fazer isto um pouco menor. O que diz a parte "d"? A região "R" modela a superfície de uma pequena lagoa. Agora, é a superfície. E em todos os pontos "R" na distância "x" do eixo "y", a profundidade da água é dada por "h" de "x" igual a 3 menos "x". Basicamente, 3 menos "x" é a profundidade, certo? Neste ponto, a profundidade é de 3. 3 menos zero. E neste ponto, a profundidade é de 3 menos 2, que é 1. Basicamente, o lago vai ficando cada vez mais raso, e à medida em que vamos para a direita. Você pode quase imaginar. Deixe-me ver se consigo desenhar. Esta é a função seno com alguma perspectiva. Esta é a função polinomial abaixo disto. E isto, provavelmente, é o eixo "x". Este é o eixo "y". E aqui, a profundidade do lago é dada pela função "h" de "x" é igual a 3 menos "x". Então, aqui a profundidade é 3. Se eu fosse direto para baixo, a profundidade seria, talvez, 3. E o lago fica cada vez mais raso à medida em que vamos para a direita. Como vamos calcular o volume disto? Aqui, qual é a profundidade? Será 1, certo? Isto é "x" igual a 2. Aqui, a profundidade será 1. Se pegarmos a secção transversal ao longo do eixo "x", a profundidade se parecerá com isto. Eu sei que é um pouco difícil de visualizar. De qualquer forma, como descobrimos qual é o volume deste lago? É melhor continuar no próximo vídeo. Até logo!