Introdução aos polinômios de Taylor e Maclaurin (parte 2)

[RKA20C] Nos vídeos anteriores, nós aprendemos como aproximar funções utilizando polinômios. Embora essas funções pudessem ser funções quaisquer, a gente pedia que elas fossem funções diferenciáveis, isto é, a gente deveria conseguir calcular a derivada primeira, a derivada segunda, a terceira, e assim por diante, pelo menos quando x = 0. Mas como a gente fez isso? Utilizando um polinômio de grau zero, a gente tem um polinômio constante. Então, o gráfico dava uma reta horizontal passando aqui, por f(0). Visivelmente, essa aproximação não é muito boa, então, podemos aumentar o grau do polinômio tentando melhorar nossa aproximação. Se a gente usasse um polinômio de grau 1, ia ter pelo menos a inclinação igual à inclinação da função quando x = 0. Se a gente aumentar o grau do polinômio ainda mais, pode ter um polinômio de segundo grau que passa aqui, em x = 0, e fica bem próximo, melhor que nossas aproximações com os polinômios de grau zero e grau um. Aumentando mais ainda o grau, a gente vai conseguindo polinômios com aproximações melhores. Se a gente pegasse um polinômio de 3º grau, nossa curva poderia ficar assim, ficaria bem mais próxima aqui quando a gente estivesse perto de x = 0. Mas tudo isso que a gente fez foi focando aqui em x = 0, ou seja, a gente estava aproximando a função usando polinômios nas redondezas de x = 0. Então, o zero era o nosso centro. Por isso, a série chamava Série de Maclaurin, ou série de Taylor quando x = 0. Agora, nossa ideia é tentar expandir e poder fazer esse mesmo resultado em qualquer valor de x arbitrário. Então, a gente vai focar nas séries de Taylor para um valor de x qualquer. Vamos supor que queremos, então, aproximar essa função em torno de um valor qualquer c. Digamos que, quando x é igual a um valor c, queremos aproximar esta função em torno de c. Bom, vamos usar a mesma ideia que usamos antes. Vamos tentar, em nosso primeiro polinômio de aproximação, vamos tentar um polinômio de grau zero. Então, seria um polinômio constante. Se esse polinômio vai ser constante, seria interessante ser igual pelo menos à função f no ponto c. Então, vamos definir aqui nosso P(x) = f(c). Aí, a gente já sabe que o gráfico disto aqui vai ser uma reta horizontal passando em f(c), aqui em cima, certo? Então, é isso aí... Se queremos que o nosso polinômio seja igual a uma constante, pelo menos, que essa constante seja igual ao valor da função aplicada em c, ou seja, f(c). Então, a gente vai definir o nosso polinômio para ser igual a f(c), ele vai ser uma constante. Entretanto, essa aproximação não é muito boa. A gente já viu que ela não é muito legal. Porém, a gente ganhou uma coisa aqui que vai querer manter, que é P(c) = f(c), tá? Isso é legal, se eu colocar, no lugar do x, o c, isso vai dar f(c). Isso é um valor constante para qualquer valor de x, então, quando eu coloco c no lugar de x, a gente vai ter que o polinômio vai dar o mesmo valor que a função. Além disso, eu vou querer pedir mais uma coisa agora... E se a gente tivesse P'(c) = f'(c)? Então, se a derivada primeira da minha função for igual à derivada primeira do meu polinômio quando x = c? Repare aqui que eu estou seguindo a mesma ideia que a gente fez antes. Bom, quero que o polinômio e a função tenham o mesmo valor quando x = c, e quero que a derivada primeira do polinômio e a derivada da função também tenham o mesmo valor quando x = c. Então, já dá para eu arriscar escrever esse nosso polinômio p(x), tá? Você vai ver que ele vai ficar muito parecido. Por quê? Agora, a gente não está mais com x = 0, a gente está com x = c. Então, vou ter que fazer algumas adaptações aqui. Mas vai ser pouca coisa. A ideia vai ser assim, então: o meu polinômio P(x), vou defini-lo para ser f(c), o nosso termo constante, mais... O nosso termo de primeiro grau vai ficar f'(c) vezes (x - c). Você vai falar: "Mas apareceu agora um (x - c), né? Por que será que tem agora esse (x - c)?". Bom, antes de fazer isso... Vamos lá! Vamos avaliar para ver se temos as nossas restrições atendidas. Vamos calcular aqui o que dá P(c). Então, vamos trocar o x por c. Isso aqui dá f(c), é um valor constante, não muda. Mais... E aqui vai ficar f'(c). Aqui vai dar f'(c), vezes (x - c). O x, eu estou trocando por c. Então, isso vai ficar f'(c) vezes (c - c). Aí, vou ter que c - c = 0, então, esse pedaço aqui é 0 e vai zerar toda esta parte. Portanto, a gente vai ter P'(c) = f(c), tá? Então, a nossa primeira condição está atendida, montando o polinômio desse jeito. Isso só deu certo porque a gente colocou aqui x - c. Repare que, quando eu aplico polinômio em c, eu vou trocar o x por c, aí, vai ficar c - c, vai dar 0. Todo este pedaço aqui, que eu não queria que aparecesse, ele fica zerado, ele some. Portanto, tenho o resultado que eu quero, que é P(c) = f(c). Por isso, temos que adaptar aqui e colocar x - c. Vamos tentar agora ver se a nossa segunda condição também funciona. Vamos calcular aqui o que é P'(x), tá? Então, vamos derivar o polinômio P. Derivando uma constante... Dá zero, então, este pedaço não tem. Aqui, quando eu fizer a distributiva, f'(c) vezes x e f'(c) vezes -c... Aqui, quando eu fizer f'(c) vezes -c, é uma constante, vai dar zero a derivada. Aqui, f'(c) vezes x, é uma constante, vezes x, dá a própria constante, isso vai dar f'(c). Então, a derivada do meu polinômio aqui, ele também é constante. Logo, se eu colocar, no lugar do x, o c, e vou ter P'(c) = f'(c). E é justamente o que a gente queria aqui, na nossa segunda restrição. Se a gente usar um polinômio com dois termos, deste tipo, um polinômio de 1º grau, a gente garante que pelo menos acerta aqui a inclinação da função quando x = c. A gente pode continuar aumentando o grau desse polinômio o quanto quiser. Na verdade, se a gente usar a mesma ideia que a gente usou na expansão de Maclaurin, a gente vai chegar aqui na expansão geral de Taylor, quando x pode ser um valor qualquer, não necessariamente x = 0. Bom, vamos tentar achar esse nosso polinômio P(x) usando a mesma lógica que usamos na expansão de Maclaurin. Se nosso polinômio é P(x), vamos escrevê-lo assim: P(x), nosso polinômio de aproximação, vai ser f(c), que é o nosso termo constante, mais f'(c) vezes (x - c)... Já dá para começar a imaginar quais vão ser os nossos próximos temos, né? Se quiser, assista aos vídeos da expansão de Maclaurin para você lembrar, a ideia vai ser a mesma. Mais... Aqui eu vou ter f"(c)/2!. Na expansão de Maclaurin, aparecia aqui embaixo 1!. Vezes (x - c)². O próximo termo ficaria f''', a derivada terceira da função em c, vezes (x - c)³. Isso também sobre três fatorial, né? Bom, para não deixar passar, aqui eu poderia ter colocado 1!. Mas como 1! = 1, não muda nada o valor. Então, a gente nem vai se dar ao trabalho de colocar. Mas ideia geral é essa aí. Você pode continuar adicionando quantos termos você quiser. Infelizmente, o que vamos ter de mais complicado é que, no lugar de x, estamos colocando x - c... No lugar de x² vai ter (x - c)², no lugar x³ vai ter (x - c)³, e assim por diante. Ou seja, você vai ter a expansão desses binômios para fazer. Principalmente se você quiser fazer isso à mão, na prática mesmo, vai dar bastante trabalho. Entretanto, o importante é que, se estiver nas redondezas de x = c, você vai ter uma ótima aproximação da função usando polinômios, conforme aumentarmos os termos desse polinômio. Quanto maior o grau do polinômio que quisermos usar, vamos ter uma melhor aproximação. Eu vou mostrar isso melhor para vocês nos próximos vídeos usando o software Wolfram Alpha.