Demonstração do caso especial da regra de L'Hôpital

A regra de L'Hôpital nos ajuda a calcular limites na forma ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}}$‍, em que a substituição direta termina nas formas indeterminadas ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍ ou ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$‍.

A regra diz essencialmente que se o limite ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}}}$‍ existe, então os dois limites são iguais:

O curso de cálculo avançado não exige saber a prova dessa regra, mas acreditamos que enquanto uma prova estiver acessível, sempre haverá alguma coisa para se aprender com ela.. Em geral, sempre é bom exigir algum tipo de prova ou justificativa para os teoremas que você aprende.