Funções definidas por integrais definidas (funções de acumulação)

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre funções definidas por integrais definidas. Provavelmente, você já gastou grande parte de sua vida matemática falando sobre função, não é? Mas, não custa nada a gente sempre relembrar. A ideia básica de uma função é dar uma entrada válida em uma função, ou seja, um membro do domínio dessa função, aí essa função vai trabalhar nessa entrada e dizer qual é a saída correspondente. Nós chamamos isso de saída correspondente f(x). Sabendo disso, existem muitas formas de definir funções. Você poderia dizer por exemplo, algo como f(x) = x². Isso significa que qualquer que seja o "x", tudo que você inserir na função vai dar uma saída que será essa entrada ao quadrado. A gente também poderia ter algo definido assim. f(x) = x², se "x" for ímpar, ou x³ em caso contrário. Ou seja, se for um número inteiro ímpar, basta elevá-lo ao quadrado. Mas caso contrário, para qualquer outro número real, você deve elevar à terceira potência. O que vamos fazer neste vídeo é explorar uma nova maneira, ou potencialmente uma nova maneira, de você definir uma função. Isso é feito usando uma integral definida, mas é a mesma ideia geral. Aqui estamos fazendo uma representação gráfica de uma função "f". Aqui temos o eixo "t" e aqui temos o eixo "y", e temos este gráfico aqui da função "f", em que podemos ver que "y = f(t)". O que eu quero fazer aqui é encontrar uma outra forma de representar quais saídas teremos para determinadas entradas. Por exemplo, aqui, se "t = 1", teremos f(t) = 5. Se "t" for 4, f(t) é 3. Para isso, eu vou definir uma nova função com base em uma integral definida de f(t). Vamos definir nossa função aqui. Vamos dizer que a gente tenha "g", g(x), e que essa função vai ser igual à integral definida indo de -2 até "x" de f(t)dt. Pause este vídeo e dê uma olhada nisso. Pense um pouco sobre o que eu fiz aqui. Isto pode parecer muito complexo, mas o que está acontecendo aqui é que, dado uma entrada "x", g(x) vai ser baseado em qual é a integral definida para esse ''x". Eu vou montar uma tabela aqui para observar isso melhor e pensar sobre alguns valores potenciais. Sendo assim, vamos colocar aqui o "x" e aqui, colocar o g(x). Assim, se "x" é 1, g(x) vai ser igual a quê? g(1) vai ser igual a integral definida indo -2 até, agora "x" vai ser igual a 1 para esta situação. Isso é o que estamos inserindo aqui na função, portanto, 1 é o nosso limite ou superior de f(t) dt. E isso é igual a quê? Bem, esta vai ser a área abaixo da curva e acima do eixo "t", entre "t = -2" e "t = 1". Então, vai ser esta área aqui. Como isso está neste gráfico todo demarcado, podemos descobrir o valor desta área. Podemos dividir isto aqui em duas seções. Esta seção retangular aqui tem 3 de largura e 5 de altura, portanto, temos uma área de 15 unidades quadradas. E esta pequena seção triangular aqui tem 2 de largura 1 de altura, 2 vezes 1 vezes 1/2, e esta é a área deste triângulo, que é 1. Então, toda esta área aqui é igual a 15 + 1, que é 16, que é o resultado desta integral. Agora, e se "x =2"? g(2) vai ser igual a quê? Pause o vídeo tente descobrir isso. Bem, g(2) vai ser igual à integral definida de -2 até, agora nosso limite superior vai ser nossa entrada na função, que é igual a 2 de f(t) dt. Então, isto aqui vai acontecer a partir daqui, indo ao longo de todo esse caminho até aqui. A área que acabamos de calcular é tudo isso aqui, descobrimos que isso é igual a 16 unidades quadradas. Aí temos mais 1, 2, 3, 4, 5 unidades quadradas. 16 + 5 = 21, que é o resultado desta integral. Enfim, eu espero que isso tudo faça sentido para você e que isso te ajude a compreender que podemos definir funções válidas usando integrais definidas. Mais uma vez, eu quero deixar aqui para você um grande abraço, e até próxima!