Derivadas de funções inversas: a partir de equação

RKA3JV - Seja f(x) = 1/2x³ + 3x - 4 e seja "h" a inversa da função "f". Considere que f(-2) = -14. A pergunta é, qual é o h'(-14)? Ou seja, a derivada da função inversa desta função dada quando x = -14. Se você não está muito bem familiarizado com a ideia das derivadas das funções inversas, isto tudo pode parecer uma coisa muito difícil de fazer, porque você vai tentar descobrir o que é a função definida pelo "h", que seria a função inversa de uma polinomial de terceiro grau. E isso poderia te dar um trabalho algébrico muito grande. A chave para que isso tudo seja resolvido mais diretamente é o fato de que h'(x), ou seja, a derivada da função inversa de "f" é igual a 1 / f' (h(x)). Agora, você pode usar isto para descobrir quanto é, neste caso, h'(-14). Antes de continuar, é claro, você deve se perguntar de onde vem esta relação. E eu já digo que esta relação, essencialmente, vem da regra da cadeia. E para discutir isso, precisamos nos lembrar de que se "f" e "h" são funções inversas, então o f(h(x)) é igual a simplesmente "x". Lembre-se, o h(x) leva "x" para algum valor h(x), e o "f" do h(x) leva este resultado de volta para o "x". É isso que as funções inversas fazem. Tendo isso, se nós tomarmos a derivada dos dois lados desta igualdade, o que será que vamos obter? Eu estou aqui derivando em relação a "x" o lado esquerdo e o lado direito da igualdade. Arrumando um pouco aqui, lembrando da regra da cadeia, vamos ter f' (h(x)) vezes h'(x), que seria derivada da função composta por "f" e "h". E isso é igual a derivada de "x" em relação a "x" que é simplesmente 1. Agora, basta dividir os dois lados por f' de h(x). E vamos chegar a h'(x) = 1 / f' (h(x)). Que é exatamente o que eu já havia colocado acima. Seguindo, então, a ideia acima, como nós queremos calcular o h'(-14) isso vai ser igual a 1 / f' (h(-14)). Estamos trocando "x" por -14. Agora, nós precisamos saber o que é o h(-14). Mas, vamos voltar ao enunciado e usar a informação de que f(-2) = -14. E o "h" faz, justamente, o caminho inverso. Portanto, o h(-14) = -2. Ou seja, se você coloca -14 no lugar do "x" na função "h", você tem que voltar para o "x" do "f" que originou o -14, que aqui é o -2. O h(-14), portanto, é igual a -2. Eu já posso substituir aqui então h(-14) por -2. O que nós fizemos, simplesmente, foi inverter aqui o -2 e o -14, que é justamente o que as funções inversas fazem. Ou seja, se "f" leva o -2 para -14, o "h" que é inverso, leva o -14 para o -2. Agora, precisamos saber o que é o f'(-2). Para isso, primeiro vamos precisar saber o que é o f'(x), já que conhecemos f(x). Vamos derivar ali 1/2(x)³. Usando a regra da potência, o 3 vai multiplicando. 3 vezes 1/2 são 3/2, vezes x². O expoente diminui em uma unidade, mais a derivada de 3x em relação a "x", que é simplesmente 3. Mais uma vez, usamos a regra da potência. O expoente 1 do "x" multiplicou o 3 e o "x" ficou elevado a zero. Por isso, não aparece, já que seria resultado 1. A derivada de -4 que é uma constante, é simplesmente, zero. Então, f'(x) = 3/2x² + 3. Então, o f'(-2) vai ser 3/2 vezes -2² que dá 4 positivo, e ainda mais 3. Simplificando, aqui temos simplesmente 2, 2 vezes 3 dá 6, e mais aquele outro 3 resulta em 9. Ou seja, o f'(-2) é igual a 9. Então, este denominador todo vale 9. Portanto, o h'(-14), tudo isso aqui é igual a 1/9. Para resolver isto, você usou algo que você não vê todo dia, nem é algo tão típico na sua aula de Cálculo, mas é interessante. Até a próxima!