Derivabilidade em um ponto: algébrico (a função é derivável)

RKA2G - A função dada abaixo é contínua e diferenciável em x = 3? Nós temos aqui uma função, em que essa função vai ser igual x² para todos os valores menores que 3 e vai ser igual a 6x - 9 para todos os valores maiores ou iguais a 3. O que nós precisamos saber aqui é se esta função é contínua e diferenciável neste ponto x = 3. Uma coisa que a gente já pode eliminar de cara é o seguinte: toda função só é diferenciável se ela for contínua em um certo ponto. A gente não pode ter uma função que não é contínua mas é diferenciável nesse ponto. Então, a gente já pode anular logo de cara esta alternativa aqui, que ela é diferenciável mas não é contínua. Não tem como ter isso. Ficamos apenas com estas três outras opções, e aí a gente vai avaliar e ver qual delas é a certa. A primeira coisa que nós vamos ver aqui é se esta função é contínua. E como a gente sabe se uma função é, de fato, contínua? Para essa função ser contínua, ela tem que ser igual ao limite dessa função naquele ponto. Então, o que a gente tem que avaliar aqui é se esta função, neste ponto x = 3, vai ser igual ao limite com "x" tendendo a 3 da própria função f(x). Vamos lá, então. A primeira coisa que vamos calcular é o f(3), a função no ponto 3. Neste caso, a gente vai pegar esta parte: 6x - 9, já que é para valores maiores ou iguais a 3. Como a gente quer avaliar no ponto 3, seria esta expressão: 6x - 9. Calculando isto, a gente vai ter 6 vezes 3, que é 18, e 18 - 9, que é igual a 9. Então, a função neste ponto x = 3 vai ser igual a 9. Agora a gente precisa avaliar o limite. Só que, como a gente tem duas expressões aqui, precisamos avaliar o limite do lado esquerdo e o limite do lado direito. Então, vamos avaliar agora o limite com "x" tendendo a 3, só que pela esquerda. Pela esquerda neste caso vai ser para valores menores que 3, que é igual a x². A gente vai avaliar esse limite para a função sendo igual a x². Neste caso, basta substituir o 3 aqui. 3² = 9. Ótimo, a gente já tem um lado sendo igual à função. Nós vamos avaliar o limite do outro lado agora, também. A gente quer saber o limite com "x" tendendo a 3, só que agora pela direita. A função do lado direito aqui do 3 é este 6x - 9. Então, temos aqui a função sendo 6x - 9. Quanto vai ser isto? 6 vezes 3 vai ser 18, e 18 - 9 = 9. Então, a gente tem que os dois limites laterais são iguais à função. Então, a função é contínua neste ponto x = 3. Esta parte que diz que não é contínua e nem diferenciável, a gente também já pode anular, porque sabemos que ela é contínua. Ficamos apenas agora com a dúvida se ela é diferenciável ou não. E como é que uma função é diferenciável? Ela é diferenciável quando a derivada dessa função existe neste ponto. E como a gente calcula a derivada? Podemos calcular através da definição. Como? Com o limite do "x" tendendo ao ponto, que neste caso é o 3, da função de "x" menos a função de 3, ou seja, a variação da função, sobre x - 3. Ok, a gente já consegue facilmente calcular a função no ponto x = 3, porque a gente já fez isso aqui. A função no ponto x = 3 é 9. Para calcular este limite, novamente, a gente precisa calcular os limites laterais. Então, vamos calcular o limite com "x" tendendo a 3 pela esquerda. Neste caso, a função vai ser x². Então, a gente vai ter x² - 9 sobre x - 3. Neste caso, a gente não pode substituir o 3 aqui direto porque a gente vai ter uma indeterminação. Precisamos fatorar isto porque, fatorando, a gente consegue eliminar isto que está no denominador. Afinal de contas, x² - 9 é igual a x + 3, vezes x - 3. Isso dividido por x - 3. Assim, a gente anula esta parte com esta parte, ficando apenas com x + 3. E o limite, com "x" tendendo a 3 pela esquerda, de x + 3, vai ser igual a 3 + 3, que é igual a 6. Então, pelo menos o limite lateral da esquerda existe. Agora, vamos calcular o limite com "x" tendendo a 3 pela direita. Novamente, a gente vai utilizar a definição aqui, colocando o f(x - 9). f(x) agora é 6x - 9. Isto menos 9, dividido por x - 3. A gente vai ter aqui (6x - 9) - 9, que é igual a 6x - 18. Podemos até colocar isso: 6x - 18, dividido por x - 3. Aqui no numerador, a gente consegue colocar o 6 em evidência. Assim, vamos ter 6 vezes x - 3. E aí a gente consegue cancelar este x - 3 do numerador com o x - 3 do denominador, sobrando apenas o 6. Então, o limite, do lado direito, também existe. Se os dois limites existem, significa que esta função é diferenciável neste ponto x = 3. Então, aqui a gente pode marcar esta terceira opção. Ambas: ela tanto é contínua quanto diferenciável.