Análise de problemas de taxas relacionadas: equações (Pitágoras)

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um problema sobre taxa de variação. Essa questão diz o seguinte: dois carros estão indo em direção a um cruzamento de direções perpendiculares. A velocidade do primeiro carro é 50 quilômetros por hora e a velocidade do segundo carro é 90 quilômetros por hora. Em um certo instante t₀ o primeiro carro está a uma distância x(t₀) de meio quilômetro do cruzamento e o segundo carro a uma distancia y(t₀) de 1,2 quilômetro da intercessão. Qual é a taxa de variação da distância de d(t) entre os carros nesse instante? Qual equação deve ser usada para resolver o problema? A questão fornece quatro equações. Então, como sempre, você pode pausar este vídeo e tentar resolver isso sozinho ou sozinha. E então, fez? Vamos fazer isso juntos agora? Então vamos apenas desenhar o que está acontecendo. Isso é sempre uma coisa saudável de se fazer. Temos dois carros se dirigindo a um cruzamento de direções perpendiculares. Então vamos dizer que temos um carro bem aqui que está se movendo na direção x em direção a esse cruzamento. Aqui temos outro carro que está se movendo na direção y, então digamos que ele está se movendo assim. Então esse é o outro carro. Eu deveria ter feito aqui uma visão de cima, mas eu acho que você conseguiu compreender a ideia, não é? Aqui vamos nós. A gente tem uma representação do carro que está se movendo nessa direção. Inicialmente em t₀ ele está a uma certa distância. Sendo assim, vamos desenhar aqui esse instante. O primeiro carro está uma distância x(t₀) de 0,5 km. Então essa distância bem aqui nós vamos chamar de x(t) e vamos chamar essa distância aqui de y(t). Agora, como determinamos a distância entre os carros, ou seja, como relacionamos x(t) com y(t)? Poderíamos apenas usar uma fórmula bem típica para determinar essa distância, que é essencialmente apenas o teorema de Pitágoras. Nesse caso a distância entre os carros é a hipotenusa desse triângulo retângulo. Lembre-se: eles estão viajando em direções perpendiculares, então isso aqui é um triângulo retângulo. Sendo assim, essa distância bem aqui é x(t) ao quadrado mais y(t) ao quadrado. Então a gente vai ter que d(t) é a raiz quadrada disso, e isso aqui é apenas o teorema de Pitágoras. Isso é d(t). Ou podemos dizer que (d(t))² é igual a (x(t))² mais (y(t))². A gente tem muitos parênteses aqui, não é? Então essa aqui é a relação entre d(t), x(t) e y(t). É muito fácil resolver esse problema agora porque basta tirar a derivada em relação a t de ambos os lados dessa equação. Vamos fazer isso usando várias regras de derivadas, incluindo a regra da cadeia. Assim teremos a taxa de variação de d(t), que é d'(t). Além disso também teremos a taxa de variação de x(t) e y(t). Mas ao olhar para essas opções, vemos que de fato a opção (D) mostra exatamente a relação que encontramos. Temos aqui que a distância d entre os carros ao quadrado é igual à distância x em relação à intercessão ao quadrado mais a distância y em relação ao cruzamento ao quadrado. E se a gente quiser determinar a taxa de variação da distância, basta derivar em ambos os lados essa equação em relação ao tempo. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que eu conversamos e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!