Problemas sobre movimento: cálculo da aceleração máxima

RKA8JV - Uma partícula se move ao longo do eixo "x" a partir de um tempo "t ≥ 0" e sua velocidade é dada por: v(t) = -t³ + 6t² + 2t. Em qual instante de tempo "t" a partícula obtém a máxima aceleração? Bem, o problema nos forneceu uma função para velocidade, e o que ele está pedindo é para a gente encontrar a máxima aceleração obtida por essa partícula. Bem, antes de a gente começar a fazer isso, é interessante a gente lembrar de algumas coisas. Por exemplo, se eu tenho uma função que representa a posição dessa partícula ao longo do eixo "x", ou seja, x(t), para obter a velocidade dessa partícula, basta derivar essa função. Assim, a gente vai ter que a derivada de x(t), ou seja, x'(t) = v(t), a função velocidade da partícula. Se a gente derivar agora a velocidade, nós vamos encontrar a função da aceleração dessa partícula ao longo dessa trajetória. Bem, o problema forneceu aqui para a gente a função velocidade, certo? Então, se a gente quer obter a função aceleração, basta derivar essa função velocidade, e é o que nós vamos fazer aqui. Ele falou para a gente que a velocidade dessa partícula, a função velocidade em relação ao tempo, é igual a "-t³ + 6t² + 2t" Para encontrar a função aceleração, basta derivar esta função velocidade. Para derivar esta função aqui, basta utilizar a regra da potência. Assim, a gente vai colocar aqui o 3 na frente do "t" e vamos ter -3t, e aqui no expoente nós vamos subtrair 1, 3 - 1 = 2, mais, a mesma coisa aqui, a gente vai colocar o 2 na frente do "t", assim a gente vai ter 6 vezes 2, que é igual a 12, e no expoente a gente também vai subtrair 1 2 - 1 = 1, então, a gente nem precisa colocar esse 1 aqui no expoente, mais, a derivada de 2t, que é igual a 2. Beleza, agora nós já temos aqui a função aceleração. Mas o problema está pedindo para a gente em qual instante de tempo a partícula obtém a máxima aceleração. Se a gente já tem a função da aceleração, a gente pode plotar um gráfico para essa função e buscar o ponto em que essa aceleração vai ter um valor máximo. Por exemplo, vamos supor que a gente vai plotar aqui do lado. Como essa aqui se trata de uma função do segundo grau, a gente vai ter um gráfico tendo uma forma parabólica, e o sinal aqui na frente do primeiro termo vai indicar para a gente se essa parábola está voltada para cima ou para baixo. Como o sinal aqui é negativo, significa que esta função está voltada para baixo. Então a gente vai ter uma função da aceleração mais ou menos desse jeito aqui, com essa concavidade voltada para baixo, em que aqui é o ponto em que a gente vai ter a máxima aceleração dessa partícula. Bem, como que nós poderíamos encontrar essa aceleração? Neste ponto aqui, nós temos esta reta tangente, certo? E para obter esta reta tangente, basta derivar a função aceleração. Neste ponto, esta reta tangente tem uma inclinação igual a zero, e é neste ponto em que a gente vai encontrar a máxima aceleração. Então, para a gente encontrar o ponto em que a gente vai obter a máxima aceleração, basta derivar a aceleração em relação ao tempo e encontrar o instante de tempo em que esta derivada é igual a zero, porque é neste ponto em que a inclinação da reta tangente é igual a zero que nós vamos ter o ponto de máxima aceleração. Então, vamos fazer isso. Vamos derivar esta função aceleração aqui. Derivando a aceleração, nós temos, novamente, utilizando aqui a regra da potência, a gente coloca este 2 aqui na frente do "t", assim nós vamos ter 3 vezes 2, que é igual a 6, e subtrai 1 aqui no expoente, 2 - 1 = 1. Aqui, a derivada de 12t = 12. Percebam que esta derivada tem um sinal negativo aqui. Isso significa que, a medida que o tempo passa, essa derivada está se tornando cada vez mais negativa. Pelo fato dela está se tornando cada vez mais negativa, significa que a gente vai ter uma concavidade voltada para baixo. O interessante é que a gente também poderia fazer o teste aqui da segunda derivada. Fazendo o teste da segunda derivada, a gente iria encontrar um valor negativo, e uma segunda de derivada tendo um valor negativo, significa que a concavidade está voltada para baixo. Mas vamos nos preocupar, agora, em encontrar um instante de tempo em que esta partícula obtenha a máxima aceleração. Para fazer isso, basta a gente igualar esta derivada aqui com o zero. Subtraindo por 12 dos dois lados aqui da igualdade, a gente vai ter -6t = -12 e dividindo por -6 dos dois lados, a gente vai chegar a um resultado igual a 2. Então, este aqui é um instante de tempo em que esta partícula vai alcançar a máxima aceleração. Então, a gente pode dizer que a máxima aceleração vai ser em "t = 2". Qual é a máxima aceleração aqui? Em um tempo igual a 2. Mas só como diversão, vamos realmente constatar que esta concavidade aqui está voltada para baixo. Para fazer isso, a gente pode fazer o teste da segunda derivada. A gente vai derivar a derivada da aceleração. Então, derivando duas vezes aqui a aceleração, nós vamos derivar esta derivada aqui. A derivada de -6t = -6, e a derivada de 12 é igual a zero. Isso significa que a segunda derivada da aceleração sempre vai ter um valor negativo. Então, se ela sempre vai ter um valor negativo, significa que, ao longo do nosso intervalo, a gente sempre vai encontrar uma concavidade voltada para baixo. "A concavidade sempre estará para baixo". É devido a essa concavidade estar sempre voltada para baixo que a gente pode ter certeza que este ponto aqui vai ter a máxima aceleração, ou seja, em um instante de tempo igual a 2.