Interpretação de integrais definidas como uma variação líquida

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer uma interpretação de integrais definidas como uma variação líquida. E nos vídeos anteriores, nós começamos a falar a respeito de variações e de áreas sob curvas. Então, por exemplo, esta curva aqui representa, quem sabe, a velocidade de um carro e como ela está mudando em relação ao tempo. Note que o carro está acelerando conforme o tempo passa. Quando este tempo é de 1, a velocidade é de 10 m/s. E quando o tempo é de 5, a velocidade é de 20 m/s. Ou seja, este tempo aqui está em segundos. Basicamente, o carro começa a acelerar aqui, e vai acelerando, acelerando e aumentando cada vez mais a sua velocidade. E o interessante é que tem uma relação entre a função da taxa de variação e a área. E esta relação representa a mudança na distância do carro. Portanto, a velocidade neste caso é a distância por unidade de tempo. E se conseguirmos descobrir a área sob esta curva, nós vamos conhecer a mudança na distância de 1 segundo até 5 segundos. Claro, nós não vamos conhecer a distância total percorrida, porque nós não conhecemos o que tem aqui antes de um segundo. Ou seja, nós não vamos conseguir descobrir esta área aqui, mas vamos conhecer a área neste intervalo. O que você vai fazendo é construindo retângulos para achar a área aproximada. Então, vamos dizer que eu construa um retângulo aqui que vai de 1 segundo até 2 segundos. E como podemos descobrir a área deste retângulo, e o que ela representa? Para calcular esta área, nós pegamos este 1 segundo, que é a base do retângulo, e multiplicamos por esta altura, que é de aproximadamente 10 m/s. E a unidade de medida desta área vai ser metros por segundos, vezes segundos. E nós sabemos da física que se nós multiplicarmos o tempo pela velocidade, nós vamos ter a distância. Portanto, a área deste retângulo vai ser a distância. Portanto, a área deste retângulo representa uma aproximação da distância percorrida. E se você quiser saber exatamente qual é a distância percorrida, você deve descobrir exatamente a área sob esta curva. E como podemos descobri-la? Ou seja, esta área aqui. Simples, utilizando a definição de integral. Ou seja, esta superfície é a mesma coisa que a integral de 1 até 5 da função r(t) dt. E, de novo, o que esta integral representa? Ela representa a mudança na distância de "t = 1" até "t = 5". E com esta ideia bem definida, vamos resolver o exercício da Khan Academy. E temos o seguinte aqui, Elen caminha a uma taxa r(t) km/h, em que "t" representa o tempo em horas. O que a integral de 2 a 3 de r(t) dt = 6 significa? Escolha uma alternativa. E antes de olhar as alternativas, note que esta integral de 2 a 3 desta função está dizendo que a área sob a curva é igual a 6. Ou seja, esta função é uma taxa de quantos quilômetros a Elen caminha a cada hora. Então, basicamente, de 2 horas até 3 horas, a Elen caminha 6 km. Então, vamos olhar qual destas alternativas é a correta? Na letra "a", nós temos: a cada hora Elen caminha 6 km. Isso não está correto. O que sabemos é que de 2 até 3 horas ela caminhou 6 km, mas nós não sabemos o que acontece antes de 2 horas ou depois de 3 horas. Portanto, esta alternativa está incorreta. Na letra "b", nós temos: a cada 3 horas Elen caminha 6 km. Aqui, acontece um erro bem comum. Muitas vezes nós pegamos este limite superior e pensamos o seguinte: Até 3 horas nós vamos ter o total da distância percorrida até 3 horas. Mas isto é incorreto. Este 6 km representa a mudança de 2 até 3 horas, e não o total até 3 horas de caminhada. Portanto, esta alternativa "b" também está incorreta. A alternativa "c" diz o seguinte: Elen caminha 6 km durante a terceira hora. Sim, isto está correto! É disso que estamos falando aqui. Ou seja, de 2 até 3 horas, Elen caminhou 6 km. Ou seja, ela está passando de 2 para 3 horas. O que significa que ela está caminhando 6 km durante a terceira hora. Só para ficar claro que a alternativa "d" está incorreta, nós temos o seguinte aqui. A taxa de Elen aumentou em 6 km/h entre a segunda e a terceira hora. Só para ficar bem claro, estes 6 km não representam uma taxa, representam a área sob uma curva de taxas. Ou seja, este 6 não está falando nada da nossa mudança na taxa, ele representa uma área. Portanto, esta alternativa "d" também está incorreta. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!