Introdução à simetria de funções

Uma forma tem simetria reflexiva se ela se mantém inalterada depois de uma reflexão através de uma reta.

Por exemplo, o pentágono acima tem simetria reflexiva.

Observe como a reta $l$‍ é um eixo de simetria, e que a forma é um reflexo de si mesma através desta reta.

Essa ideia de simetria reflexiva pode ser aplicada às formas de gráficos. Vamos dar uma olhada.

Diz-se que uma função é par se seu gráfico é simétrico em relação ao eixo $y$‍.

Por exemplo, a função $f$‍, graficamente representada abaixo, é uma função par.

Verifique isso você mesmo(a) arrastando o ponto sobre o eixo $x$‍ da direita para a esquerda. Observe que o gráfico se mantém inalterado depois de uma reflexão através do eixo $y$‍!

Algebricamente, uma função $f$‍ é par se $f(-x)=f(x)$‍ para todos os valores possíveis de $x$‍.

Por exemplo, na função par abaixo, observe como a simetria em relação ao eixo $y$‍ garante que $f(x)=f(-x)$‍ para todos os valores de $x$‍.

Diz-se que uma função é ímpar se seu gráfico é simétrico em relação à origem.

Visualmente, isso significa que você pode rotacionar a figura ${180}^{\circ }$‍ ao redor da origem, e ela permanecerá inalterada.

Outra maneira de visualizar a simetria em relação à origem é imaginar uma reflexão sobre o eixo $x$‍, seguida por um reflexão através do eixo $y$‍. Se isso deixa o gráfico da função inalterado, o gráfico é simétrico em relação à origem.

Por exemplo, a função $g$‍, representada graficamente abaixo, é uma função ímpar.

Verifique isso você mesmo(a) arrastando o ponto sobre o eixo $y$‍ da parte superior para a parte inferior (para refletir a função sobre o eixo $x$‍), e o ponto sobre o eixo $x$‍ da direita para a esquerda (para refletir a função sobre o eixo $y$‍). Observe que essa é a função original!

Algebricamente, uma função $f$‍ é ímpar se $f(-x)=-f(x)$‍ para todos os valores possíveis de $x$‍.

Por exemplo, na função ímpar abaixo, observe como a simetria da função garante que $f(-x)$‍ seja sempre o oposto de $f(x)$‍.