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Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 12
Lição 2: Interpretação de características de funçõesSimetria de modelos algébricos
Aprenda a interpretar a simetria de um gráfico no contexto de um problema aplicado.
Introdução
Neste artigo, vamos aprender a interpretar a simetria de um gráfico no contexto de um problema aplicado.
Mas, primeiro, vamos refrescar a memória sobre a simetria de funções.
Simetria de funções
Agora, vamos ver um exemplo.
Exemplo 1
A energia armazenada em uma mola em joules é uma função do deslocamento da mola, , em metros, a partir do seu estado relaxado, sendo que um positivo indica uma mola esticada e um negativo indica uma mola comprimida. O gráfico de é mostrado abaixo.
O que podemos aprender sobre o contexto a partir da simetria de seu gráfico?
A simetria da função
Vamos aplicar à função o que sabemos sobre simetria.
Se você refletir o gráfico da função sobre o eixo , ele cairá sobre si mesmo.
Portanto, é uma função par. Algebricamente, isso significa que para todos os valores de .
Interpretação de características simétricas
O que significa “ para todos os valores de ”?
Como a afirmação é verdadeira para todos os valores de , podemos dizer que é verdadeiro quando , , etc. Vamos começar pensando no que a afirmação significa para um valor específico de , nesse caso, quando .
Quando , essa afirmação se torna .
Concentrar-se no que cada variável representa pode ajudar com essa interpretação. Lembre-se de que uma entrada positiva indica que a mola está esticada e uma entrada negativa indica que a mola está comprimida, e que a saída representa a energia armazenada na mola.
Sob essa perspectiva, vemos que significa que uma contém a mesma quantidade de que .
Agora estamos prontos para interpretar a afirmação mais geral, , que é nosso objetivo final.
Usando os exemplos acima como orientação, vemos que significa que uma mola comprimida metros contém a mesma quantidade de energia que uma mola esticada metros.
Em outras palavras: uma mola com certa compressão armazena a mesma quantidade de energia que uma mola esticada em igual medida.
Pergunta para reflexão
Vamos tentar outro exemplo.
Exemplo 2
Perseu normalmente usa quilos de madeira por dia em sua lareira para manter a temperatura da sua casa em graus Celsius. Ele tenta ajustar a quantidade de madeira, , que ele queima, para ver como a temperatura varia. Especificamente, um positivo indica uma adição de quilos de madeira e um negativo indica uma redução de quilos de madeira. O gráfico de é mostrado abaixo, com indicando a variação na temperatura da casa de Perseu.
A simetria da função
O gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Então, a função é uma função ímpar. Algebricamente, isso significa que para todos os valores de .
Interpretação de características simétricas
Para interpretar a simetria nessa situação, queremos traduzir a afirmação matemática " para qualquer valor de ” em função do contexto.
Novamente, vamos começar pensando no significado disso para um valor específico de . Então, podemos voltar e generalizar.
Para ficar mais fácil, lembre-se de que uma entrada positiva indica um acréscimo de madeira, que uma entrada negativa indica uma redução de madeira, e que a saída da função indica a mudança de temperatura.
Então, vemos que significa que a resultante da queima de é oposta àquela resultante da queima de .
Agora, estamos prontos para generalizar e interpretar a afirmação sobre simetria para um geral.
Em outras palavras: aumentar ou diminuir uma certa quantidade de madeira queimada tem efeitos exatamente opostos sobre a temperatura da casa.
Pergunta para reflexão
Tirando uma conclusão
Em geral, para interpretar o significado da simetria do gráfico de uma função, é importante:
Etapa : decidir se a função é par ou ímpar e determinar o que isso significa algebricamente.
Etapa : entender o que cada variável representa em função do contexto.
Etapa : elaborar uma afirmação que use o significado das variáveis e comparar os valores de saída de valores de entrada opostos.
Agora é sua vez
Tina está aprendendo a dirigir um novo tipo de veículo. A velocidade do veículo é determinada pela posição de um botão giratório. A velocidade do veículo, , em quilômetros por hora, é uma função da posição do botão, . Observe que significa que o botão foi girado unidades no sentido horário, e que significa que o botão foi girado unidades no sentido anti-horário.
O gráfico de é mostrado abaixo.
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