Introdução às propriedades dos logaritmos (1 de 2)

RKA - Bem-vindo à apresentação sobre propriedades de logaritmos. Essa vai ser uma apresentação bem prática. Se não acredita que uma dessas propriedades é verdadeira e quer que elas sejam provadas, fiz três ou quatro vídeos que realmente provam essas propriedades. Mas, nesse, vou mostrar as propriedades, vou mostrar como elas podem ser usadas, por isso, vai ser um pouco mais prático. Só para revisar um pouco o que é um logaritmo. Digamos que determino que A... Vamos começar de novo. "a" elevado à potência de "b" é igual a "c". A gente tem "a" elevado à potência de "b" é igual a "c". Outra forma de escrever exatamente essa relação, em vez de escrever com um expoente, é escrever como um logaritmo. Então, dá para dizer que o logaritmo de "c" na base "a" é igual a "b". Aqui estamos dizendo basicamente a mesma coisa, eles só têm tipos de resultados diferentes. Num deles, você conhece os valores de "a" e "b" e quer obter "c", e é isso que a exponenciação faz. No segundo, sabe quanto é "a" e quer descobrir a qual potência deve elevar "a" para obter "c". Assim você determina o "b". Essas duas são relações escritas de formas diferentes. Agora vamos apresentar algumas propriedades logarítmicas interessantes, e elas estão fora dessa relação e das regras normais de expoentes. A primeira é que o logaritmo... Deixa eu fazer numa cor mais alegre, né!? O logaritmo na base B... Logaritmo de A na base B + logaritmo de C na base B. E isso só funciona se tem as mesmas bases, então é importante lembrar que é igual ao logaritmo de (A vezes C) na base B. Mas o que quer dizer e como podemos usar? Vamos tentar fazer uns exemplos. Então, está dizendo que... Eu vou mudar de cor e usar a púrpura. Olha, é bonito. Púrpura! Sei lá! Eu não sei direito o nome dessa cor. Vamos usar essa cor. A gente quer achar o valor do logaritmo de 8 na base 2 + o logaritmo de 32 na base 2. E deveria ser igual a logaritmo do que na base 2? 8 vezes 32. 8 vezes 32 é 240, mais 16, 256. Vamos ver se é verdadeiro. Isso não será a prova dessa propriedade, será somente um exemplo mesmo. Vou dar uma dica para o que está acontecendo. Vamos ver se isso funciona. Então, log de 8 na base 2. 2 elevado a qual potência é igual a 8? 2³ é igual a 8, certo? Esse termo é igual a 3. Log de 8 na base 2 é igual a 3. 2 elevado a qual potência é igual a 32? Vamos ver. 2⁴ é 16. 2⁵ é 32, então é 2 elevado a 5ª, certo? 2 elevado a que potência é igual a 256? Bom, isso é 2⁸. Mas se você não sabe, pode multiplicar sozinho, mas isto é 8. E eu não estou fazendo só porque sei que 3 + 5 é igual a 8, estou fazendo isso de forma independente. Isso é igual a 8. Mas acontece que 3 + 5 é igual a 8. Até pode parecer mágica, ou óbvio. E para aqueles que acham que parece óbvio, é legal pensar que 2³ vezes 2⁵ é igual a 2³⁺⁵, certo? Essa é só uma regra de expoente. Para multiplicar expoentes de mesma base, devemos conservar a base e somar os expoentes, e é igual a 2⁸. E é exatamente o que fizemos, certo? Desse lado, tinha 2³ vezes 2⁵ basicamente, e desse lado tem a soma, o que torna os logaritmos interessantes. É um pouco complicado no início, e você pode ver as demonstrações se realmente quer uma que seja rigorosa. As minhas não são rigorosas, mas devem dar a noção de como funciona. Isso deve te dar uma dica de por que essa propriedade funciona, porque quando multiplica dois números de mesma base, duas expressões exponenciais da mesma base, pode somar seus expoentes. Da mesma forma, quando tem um log de dois números multiplicados, é equivalente à soma dos logs de cada número. Esta é a mesma propriedade. Se não acredita, assista aos vídeos com as demonstrações. Vou mostrar uma outra propriedade de log, que é praticamente a mesma. Vejo as duas como praticamente sendo iguais. Então é: log de A na base B - log de C na base B. É igual a... Log do quê na base B? É igual a log de (A sobre C) na base B, e isso diz: A dividido por C. E podemos, mais uma vez, experimentar com alguns números. Uso muito o 2, porque 2 é um número fácil de se determinar as potências. Mas vamos usar um número diferente. Digamos: log de 1/9 na base 3 - log de 81 na base 3. Então, esta propriedade nos diz... Eu estou chegando num número grande. Log de (1/9 dividido por 1/81) na base 3. É igual a 1/9 vezes 1/81. Usei números grandes no meu exemplo, mas vamos continuar. 9 vezes 8 é 720, certo? 9 vezes 80 é 720. Então, isto é log de 1/729 na base 3. 3 elevado a qual potência é igual a 1/9? 3² é igual a 9. Sabemos que se 3² é igual a 9, então sabemos que 3⁻² é igual a 1/9, certo? O sinal de menos inverte o resultado. É igual a - 2. - 3 elevado a qual potência é igual 81? 3³ é 27. É 3⁴. Tem - 2 - 4, é igual a... Poderia fazer de duas formas. - 4 - 2 é igual a - 6. Agora só tem que confirmar que 3⁻⁶ é igual a 1/729. E essa é a minha pergunta: 3⁻⁶ é igual a 1/729? Bom, isso equivale a pensar se 3⁶ é igual a 729, porque o expoente negativo só inverte. Vamos ver. Podemos multiplicar, mas deve ser assim porque dá para ver aqui. 3³ vezes 3³ é igual a 27 vezes 27. Você pode confirmar com a calculadora se não acredita em mim. Bom, acabou o tempo do vídeo. No próximo vídeo, vou te apresentar as últimas duas propriedades de logaritmo. E se tiver tempo, talvez a gente faça alguns exemplos. Até o próximo vídeo. Fui.