Simplificação de raízes quadradas de frações

RKA - Aqui eu tenho essa expressão raiz quadrada de 1 sobre 200. E eu quero que você tente simplificar isso daqui. Pois bem, pause o vídeo. Tente resolver. E agora vem com a solução, beleza? Olha só, aqui eu posso colocar da seguinte maneira. A raiz quadrada de uma divisão é a divisão das raízes quadradas. Então, aqui eu teria √1 ÷ √200. √1 é a mesma coisa que 1. Então, vou montar aqui. 1 sobre a √200. Então, meu trabalho aqui se limita a simplificar √200, que eu vou fazer aqui agora para gente ver. Olha só, √200, eu posso escrever da seguinte forma. Repara comigo que √200 eu posso colocar como sendo a raiz quadrada de 2×100, já que 200 é a mesma coisa que 2 × 100, concorda comigo? E aí a √100 é uma raiz perfeita, exata. Quanto dá a √100? Dá 10. Mas antes disso, vou separar isso aqui. Olha só, a raiz do produto é um produto das raízes. Então √2 × √100. Ou seja, aqui eu teria √2 × 10, que seria a mesma coisa, claro, que de 10√2. Perfeitamente, né. Mas, professor, não entendi de onde saiu esse 10√2. Eu não consegui visualizar que a √100 é uma raiz perfeita. Não tem problema. A gente pode fatorar mais ainda, no caso, o 200. Então, repara só, se eu pegar √200 e fizer o seguinte, você vai ver que eu posso fatorar o 200 que até o limite dele. Repare que 200 é a mesma coisa que 2 × 100. Mas 100, eu ainda posso simplificar mais. O 100 é a mesma coisa que 2 × 50. Aí, os 50 ainda posso colocar aqui como 2 × 25. E o 25 é 5 × 5. Beleza. Agora perceba aqui comigo. Repare que, como eu estou tirando a raiz quadrada, eu preciso pegar os fatores repetidos aqui dois em dois, certo. Então, 2 × 2, aqui vai ser uma raiz perfeita. Aqui os 5 × 5 também. Então, eu posso reescrever aquela √100 da seguinte maneira. A raiz quadrada bem grandona. De quê? Olha só, vou colocar na mesma cor para poder facilitar sua visão. Aqui eu tenho 2 × 2, certo. Então, vou colocar 2 × 2. Aí eu vou multiplicar agora por esses 5 × 5. Então, vezes 5 × 5, vezes aquele outro 2 ali, que está sozinho, "forever alone", coitado. Então, aqui vai ficar assim. Dessa forma. Eu separei desse jeito pra você visualizar os quadrados perfeitos. E agora você já sabe, claro, que a raiz quadrada de um produto é o produto das raízes. Então, posso colocar aqui √2×2 assim, 2 × 2, vezes √5×5, 5 × 5 ficou um pouco grande. E, finalmente, multiplicado ali pela outra √2. Repare uma coisa aqui comigo. 2 × 2 não é 2²? E o quadrado é o inverso de extrair a raiz quadrada. Então, são operações que se cancelam. Por isso eu posso dizer que √2x2 dá, simplesmente, 2. √5×5, eu posso simplificar e dizer que dá, simplesmente, 5. E a √2 não dá para simplificar. Portanto, eu vou ter aqui 2 × 5 × √2. Ou seja, tudo isso aqui se resume 2 × 5, que é 10, vezes aquela √2. Então, 10√2. Exatamente o mesmo resultado que nós encontramos aqui em cima. Então, era muito mais fácil perceber que a √100 era uma raiz perfeita, exata. Então, substituído na nossa conta, eu teria que isso daqui é igual a 1 sobre 10√2. E já poderia finalizar por aqui. Porém, você pode falar assim: mas eu não quero aquela raiz num denominador, que muitas vezes em muitos livros ele não escreve a raiz quadrada no denominador. Eles preferem fazer um negócio chamado racionalização. Então, é por isso que eu multiplico, em cima e embaixo, por √2. Porque fazendo isso, √2 ÷ √2 é a mesma coisa que multiplicar por 1, eu não altero o valor disso daqui. E fazendo essa multiplicação, você vai ver que eu vou eliminar o radical do denominador. Isso aqui vai ficar, então, 1 × √2, que dá √2, dividido por 10√2 × √2 que vai dar, isso daqui vai simplificar, e vai dar exatamente 2. Então, 10 × 2, que vai ser o resultado disso daqui, daria 20. E ficaria √2 sobre 20. Ou então, se você quiser escrever, também, poderia colocar 1/20 × √2. Tanto faz. Isso daqui é a mesma coisa que isso daqui. E esta seria então a resposta simplificada dessa expressão inicial. Beleza? Até o próximo vídeo.