Fatoração de trinômios do quadrado perfeito: fatores compartilhados

RKA - As expressões quadráticas 4x² + 12x + 9 e 4x² - 9, compartilham um fator binomial comum. Qual o fator binomial elas compartilham? Eu te encorajo agora pausar o vídeo, pensar sobre esse problema aqui, que agora, como sempre, eu vou dar resposta. Vamos pegar essa primeira expressão quadrática aqui: 4x² + 12x + 9. Vamos ver como ela poderia ser fatorada. Aqui é o seguinte: esse primeiro termo que acompanha o x², eu percebo muito bem que ele é um quadrado perfeito, eu posso escrevê-lo como sendo (2x)², dessa forma aqui, já que 2² é 4, x² é x², eu retorno para esse termo aqui. Agora, o último termo, aquele último termo que aqui é o 9, também é um quadrado perfeito. Isso aqui é a mesma coisa que 3². Aí acontece aqui o seguinte: se eu tenho um quadrado perfeito aqui no primeiro termo, quadrado perfeito lá no último termo, se esse termo central aqui, ou seja, 12x for o produto desse termo aqui com esse termo vezes 2, então, nós temos que isso daqui vai ser o quadrado da soma. Então, aqui é o seguinte: se isso aqui for +2 vezes aquele 2x ali vezes aquele 3 ali, então isso daqui vai ser o quadrado da soma, tudo isso daqui. E aí você percebe que de fato 2 vezes 2 dá 4, 4 vezes 3 dá 12, então 12x é esse termo aqui. Portanto, o que eu posso escrever ali é que isso daqui é a mesma coisa, isso aqui é igual a (2x+3)², isso aqui é a mesma coisa que 2x mais aquele 3 ali elevado ao quadrado. Se você não entendeu desse passo aqui para esse, eu te encorajo a assistir os vídeos anteriores da Khan Academy, onde nós abordamos o quadrado da soma. Então, isso daqui, se você expandir, é igual a isso daqui, é o quadrado do primeiro termo, está aqui, 2x² +2 vezes o primeiro termo vezes o segundo, 2 vezes esse vezes esse mais o quadrado do segundo termo que está bem aqui. Então, agora vamos ver o outro ali. Vamos agora fatorar o 4x² -9. E aqui, acontece a mesma coisa, perceba que isso daqui é uma diferença de quadrados, ou seja, isso aqui é um quadrado perfeito, esse aqui também e eles estão se subtraindo, perceba aqui comigo o seguinte: ali é 4x², a gente acabou de ver que é a mesma coisa que 2x² dessa forma aqui. E aquele 9 ali, é a mesma coisa que 3² e eles estão se subtraindo, então é isso daqui menos isso daqui, esse quadrado menos esse quadrado. E a diferença de quadrados, eu posso fatorar aqui novamente, se você não entender esse passo, você pode assistir aos vídeos da Khan Academy, onde nós tratamos sobre isso; então é o produto da soma pela diferença desses dois termos aqui. Então, aqui vai ficar a mesma coisa que 2x, vamos colocar aqui 2x também, e aqui vai ficar 2x+3 e 2x-3. Então, o produto da soma dos dois termos pela diferença dos dois termos. Isso daqui é igual a isso daqui, a diferença de quadrados. Aí agora, a gente está querendo saber o fator binomial comum. Fator binomial comum, como dá para perceber muito bem aqui é o 2x+3. Perceba que aqui aparece o 2x+3 e aqui também aparece 2x+3. Aqui está elevado ao quadrado, você sabe muito bem que se elevar o quadrado é a mesma coisa que multiplicar um número por ele próprio. Então, o que eu tenho aqui vai ser 2x aqui, 2x aqui e ali o 3, 2x+3 vezes 2x+3. E aí, você percebe nitidamente que o fator binomial comum, 2x+3 aparece aqui, 2x+3 aparece aqui também. Então, qual é o fator binomial comum que essas duas expressões compartilham? 2x+3. Até o próximo vídeo!