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Curso: 3ª série OE São Paulo > Unidade 3
Lição 6: Aula 2 [Avançado] Problemas envolvendo polígonos semelhantesVariação da área de um retângulo (1)
O foco desse vídeo é mostrar como a área de um retângulo se modifica ao alterar a medida de uma de suas dimensões. Versão original criada por Khan Academy.
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Transcrição de vídeo
RKA2JV - E aí, pessoal,
tudo bem? Nesta aula, vamos estudar
um assunto muito interessante relacionado a retângulos. Ou seja, vamos ver a variação
da área de um retângulo. Para isso, vamos pensar
em um problema aqui. Gabriel é um rapaz
bastante estudioso, e desenhou um retângulo com as
dimensões do terreno de sua casa. Ou seja, 12 metros
por 30 metros. E, se você não lembra, este lado aqui
é o comprimento do retângulo (ou o que chamamos de base), e este outro,
a largura (ou altura). E a área de um retângulo
é a medida do comprimento, multiplicada pela
medida da largura. Então, se quisermos
calcular esta área aqui, vamos pegar o 12 metros,
que é o comprimento, e multiplicar por 30,
que é a largura. Ou seja, 12 metros
vezes 30 metros. Isto vai ser igual
a 360 metros quadrados. E o que acontece com
a área deste retângulo se duplicarmos
suas dimensões? Temos três possibilidades:
ou duplicamos apenas o comprimento, ou duplicamos a largura,
ou então duplicamos ambos. Mas, nesta aula, vamos pensar apenas
nas duas primeiras possibilidades. Então, se tivermos um retângulo aqui
com o comprimento sendo o dobro, ou seja, se era 12 metros,
passou a ser 24 metros, e a largura se
manteve a mesma. Neste caso, a área vai ser
24 m vezes 30 m, que é igual a 720 m². Ou seja, a área deste retângulo é
o dobro da área deste aqui, que é 360 m². Posso até chamar
esta área aqui de A₁ e esta de A₂. Então, A₂ vai ser igual a
2 vezes A₁. Agora, e se, ao invés de
duplicarmos o comprimento, resolvermos duplicar a largura,
o que acontece com a área do retângulo? Bem, eu vou ter
um novo retângulo aqui, onde a largura é o dobro da do
retângulo original, então, 60 metros. Sabendo disso, qual é a nova área
que eu posso chamar de A₃? A₃ vai ser igual a:
12 m (que é o comprimento) vezes 60 (que é a largura),
e que é igual a 720 m². Ou seja, esta área
é o dobro da primeira. Com isso, podemos dizer
que A₃ é igual a 2 vezes A₁. Parece que, quando
duplicamos o comprimento, a área do retângulo original
também vai ser duplicada. E, quando duplicamos
a largura, a nossa nova área
vai ser o dobro da original. Mas será que isso
é sempre verdade? Ou seja, toda vez que
dobramos ou o comprimento, ou a largura de um retângulo,
a sua área vai ser duplicada? Vamos provar isso somente
para o comprimento. Vamos dizer que, inicialmente,
nós temos um retângulo qualquer, onde o seu comprimento é igual a "x"
e a sua largura é igual a "y". A área dele vai ser igual a o quê?
"x vezes y", correto? E o que acontece se duplicarmos
esse comprimento? Para isso, temos um novo retângulo,
onde a medida do comprimento (ou da base) é igual ao dobro
da primeira (portanto, 2x) e a medida da largura se
mantém constante (ainda "y"). Qual vai ser a nova área,
que podemos chamar de A₂? A₂ vai ser igual a 2x,
que é o comprimento, vezes "y",
que é a largura. E eu posso reescrever
isso como: A₂ = 2(xy). E por que eu escrevi assim?
Simples. Se você perceber, "x vezes y"
é a área inicial, ou seja, isto aqui. Com isso, vamos ter que A₂
é igual a 2 vezes A. De fato, para todo "x"
maior do que zero, toda vez que duplicarmos
o comprimento de um retângulo, a sua área vai ser dobrada. Mas será que o mesmo
acontece com a largura? Ou seja, será que duplicar a largura,
de fato, duplica a área? Neste caso, vamos ter
um novo retângulo, onde a medida do comprimento
vai ser constante (igual a "x") e a medida da largura vai ser
o dobro da primeira (vai ser 2y). E o que eu
quero saber é: será que essa mudança, essa variação
na largura do retângulo, de fato vai dobrar
a sua área? Eu posso chamar
esta área de A₃, e ela vai ser igual à medida da base,
ou seja, do comprimento, que é "x", vezes a medida
da largura, que é 2y. E eu posso reescrever
este A₃ como 2(xy). Ou seja, eu só mudei
a forma de multiplicar, já que a ordem dos fatores
não altera o resultado. Note que "x vezes y"
é o A, que é a área inicial. Então, onde tem "x vezes y",
podemos substituir por A. Ou seja, A₃
é igual a 2 vezes A. De fato, para todo "y"
maior do que zero, toda vez que duplicarmos a largura,
a área desse retângulo vai ser duplicada. Então, recapitulando: quando duplicamos o comprimento
do retângulo, duplicamos sua área. E, quando duplicamos a largura,
também duplicamos a sua área. Se você parar para analisar,
nesta primeira situação aqui, onde duplicamos o comprimento,
a largura vai ser constante. E claro, podemos ir
duplicando, triplicando, fazendo o que
bem entendermos, que a área vai ser duplicada, triplicada,
e assim por diante. No caso onde mudamos apenas
o comprimento, a largura é constante. Ou seja, quando calculamos a nossa área,
que é igual a "x vezes y", este "y" não faz diferença
na variação da área. Isso porque ele
é sempre constante. Ou seja, essa variação de área
depende apenas do "x". Por causa disso, podemos
reescrever esta área como uma função que depende do "x",
e que é igual a "k" vezes "x", já que o "y" é tratado
como constante. Isso nos ajuda a representar as variações
da área de um retângulo graficamente. Por exemplo: se eu tiver
um retângulo aqui com o comprimento igual a 1 metro
e a largura igual a 3 metros, a sua área vai ser igual a 3 vezes 1,
que é 3 m², correto? Neste caso, o 3 é o "k",
é a nossa constante. Então, podemos dizer que a função que
representa a variação da área em função da variação
do comprimento é igual a 3x. E podemos representar isso
através de um gráfico, já que, neste caso, a área depende
exclusivamente da variação no "x". Ou seja, o comprimento e a área
do retângulo são proporcionais. À medida que variamos o seu comprimento,
variamos a sua área. Para representar isso com um gráfico,
eu fiz um plano cartesiano aqui. Quando o comprimento
é igual a 1 m, a área desse retângulo
vai ser igual a 3 m², correto? Agora, quando duplicamos o comprimento,
o que acontece com a área? Vai duplicar também. Ou seja, se era 3 m²,
vai passar a ser 6 m². E colocamos isso
aqui no gráfico. E, se duplicarmos de novo
o nosso comprimento, indo de 2 m
para 4 m, o que acontece com
a área do retângulo? De novo,
vai duplicar. Ou seja, se era 6 m²,
vai passar a ser 12 m², correto? Então, se o comprimento
é igual a 4 m, a nossa nova área
vai ser igual a 12 m². Se você perceber, nós
conseguimos traçar uma reta passando por
todos estes pontos. Ou seja, de fato, a relação entre
o comprimento do retângulo e sua área é uma função, o que indica que
ambas as grandezas são proporcionais. E o mesmo acontece
com a largura. Ou seja, ao modificar uma
das dimensões do retângulo, a área do mesmo vai variar
na mesma proporção. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!