Conhecendo o radiano

Os focos deste artigo são conceituar o que é o radiano como sendo uma unidade de medida de arcos e trazer subsídios para que o estudante realize conversões entre a medida de um arco em radianos e sua medida em graus.

Para medir ângulos e arcos presentes em nossa vida prática, utilizamos a unidade mais comum: os graus. Mas existe uma segunda unidade que é muito importante para a Matemática: os

Para entender melhor esse conceito, vamos ver um exemplo:

Lucas deseja medir o comprimento do aro da roda de sua bicicleta usando um dos raios da própria roda. Quantas vezes ele conseguirá utilizar o raio da bicicleta para realizar essa medição?

Primeiramente, vamos pensar que o raio da roda da bicicleta é flexível. Veja na figura:

O desafio consiste em determinar quantas vezes a medida do raio cabe na medida da circunferência. Como estamos utilizando a própria medida do raio para efetuar a medição, esta será nossa unidade de medida, que, nesse caso, é chamada de radiano.

Vamos definir neste momento o radiano como sendo uma unidade para medirmos arcos contidos numa circunferência, de tal modo que um arco que mede

1 r a d

apresente seu comprimento igual ao próprio raio da circunferência.

Verificando experimentalmente quantas vezes a medida do raio está contida na medida da circunferência, é possível observar que ele cabe, aproximadamente,

6

vezes.

Na realidade, o radiano cabe cerca de

6, 28

vezes

= 2 π

vezes

(2 \times 3, 14)

no comprimento da circunferência.

Como a circunferência é o maior arco que pode estar contido na própria circunferência, sua medida está associada à medida do ângulo central determinado por suas extremidades.

Desta maneira, utilizando o radiano para medir o ângulo central da circunferência, temos que sua medida é

2 π

rad.

Sabendo que o ângulo central da circunferência mede

2 π r a d

, é possível determinar submúltiplos para medirmos arcos cujo comprimento seja diferente da própria circunferência:

Arco	Medida em radianos (rad)
1 volta	$2 π$ ‍
$\frac{1}{2}$ ‍ volta	$π$ ‍
$\frac{1}{4}$ ‍ de volta	$\frac{π}{2}$ ‍
$\frac{1}{8}$ ‍ de volta	$\frac{π}{4}$ ‍

Também é possível relacionar as medidas dos arcos em radianos com suas respectivas medidas em graus. Nesse caso, temos que:

Arco	Medida em radianos (rad)	Medida em grau
1 volta	$2 π$ ‍	$360 º$ ‍
$\frac{1}{2}$ ‍ volta	$π$ ‍	$180 º$ ‍
$\frac{1}{4}$ ‍ de volta	$\frac{π}{2}$ ‍	$90 º$ ‍
$\frac{1}{8}$ ‍ de volta	$\frac{π}{4}$ ‍	$45 º$ ‍

Ainda, podemos explorar as seguintes ideias de composição dos submúltiplos do radiano:

se $\frac{π}{2} r a d$ ‍ equivale a $90 º$ ‍, então $\frac{3 π}{2} r a d$ ‍ equivale a $270 º$ ‍;
se $\frac{π}{4} r a d$ ‍ equivale a $45 º$ ‍, então $\frac{3 π}{4} r a d$ ‍ equivale a $135 º$ ‍;
se $\frac{π}{4} r a d$ ‍ rad equivale a $45 º$ ‍, então $\frac{5 π}{4} r a d$ ‍ rad equivale a $225 º$ ‍;
se $π r a d$ ‍ equivale a $180 º$ ‍, então $\frac{π}{3} r a d$ ‍ equivale a $60 º$ ‍ e $\frac{2 π}{3} r a d$ ‍ equivale a $120 º$ ‍;
se $\frac{π}{3} r a d$ ‍ equivale a $60 º$ ‍, então $\frac{5 π}{3} r a d$ ‍ equivale a $300 º$ ‍.