Lei de Resfriamento de Newton

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos pensar em algo que podemos modelar com equações diferenciais. Vamos dizer que nós temos um objeto aqui e que a temperatura dele possa ser mais quente ou mais fria que a temperatura ambiente, ou seja, dois cenários possíveis. O que queremos saber nessa aula é o quão rápido ele esfria ou esquenta. Para fazer isso, vamos pensar do jeito que Newton pensou, que é o que chamamos de Lei de Resfriamento de Newton. Basicamente, a Lei de Resfriamento de Newton diz que a variação da temperatura em relação ao tempo tem que ser proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. E claro, se uma coisa é muito mais quente do que a temperatura ambiente, a taxa de variação deve ser bem inclinada com rápida redução da temperatura, mas se uma coisa é muito, mas muito mais fria do que a temperatura ambiente, sua temperatura deve subir bem rapidamente. Se essas temperaturas forem iguais, significa que não vai ter uma variação, e uma temperatura negativa significa uma mudança instantânea negativa. Como podemos ter essa variação negativa no caso onde a temperatura do objeto é maior do que a temperatura ambiente? Para isso acontecer, esse k tem que ser negativo. Se você não gosta de um k negativo, pode colocar um sinal de negativo antes, e então o valor do k será positivo. Isso até faz sentido agora, porque se a temperatura do objeto é maior do que a temperatura ambiente, isso aqui vai ser positivo e a nossa taxa de variação vai ser negativa, já que está resfriando. Agora, se a temperatura do objeto for menor do que a temperatura ambiente, então essa diferença vai dar negativo, e como tenho um menos aqui, essa parte vai ficar positiva (isso, claro, assumindo que k é um valor positivo), e então a nossa taxa de variação vai ser positiva, o que está indicando que a nossa temperatura está aumentando. Eu espero que isso tenha feito algum sentido. Basicamente, a nossa constante k pode depender do calor específico do objeto, o quanto essa superfície está exposta a esse calor ou a qualquer outra coisa. Agora que entendemos isso, será que nós conseguimos generalizar a solução dessa equação diferencial? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Vou lhe dar só uma dica: essa é uma equação diferencial separável. Então vamos lá, vamos resolver isso juntos. O que temos para fazer aqui é colocar todos os T maiúsculos de um lado e o dt do outro. Claro, isso pode parecer um pouco confuso, mas é porque estamos utilizando as mesmas letras. O T maiúsculo é da temperatura e o t minúsculo é do tempo. Então, como podemos manipular isso aqui algebricamente? A primeira coisa que podemos fazer é dividir ambos os membros dessa equação por T menos Ta. E claro, eu estou considerando que essa temperatura ambiente não varie com o tempo, portanto, ela é uma constante, ou seja, estamos considerando que a sala é grande o suficiente para que esse objeto não mude a temperatura do ambiente. Então, dividindo ambos os membros da equação por isso aqui, vamos ficar com (1 sobre (T menos Ta)) que multiplica de dT sobre dt, que é igual a -k. Se multiplicarmos ambos os membros dessa equação por dt, nós cancelamos esse dt com esse e ficamos com (1 sobre (T menos Ta)) vezes dT, que é igual a -kdt. E o que podemos fazer agora? Nós já vimos equações diferenciais separáveis em que podemos integrar ambos os membros dessa equação. A integral disso aqui vai ser o logaritmo natural do valor absoluto do que temos no denominador. Você pode utilizar substituição, se quiser. Enfim, nós temos várias aulas a respeito disso. Então, vamos ficar com ln do módulo de |T menos Ta| que é igual à integral disso aqui. Nós podemos resolver colocando esse -k à frente da integral, já que é uma constante, e vamos ficar com a integral de 1 dt, que dá t. Vamos ficar com -kt mais uma constante c. Aplicando a definição de logaritmo, nós vamos pegar “e” e elevar a isso, e a resposta tem que ser T menos Ta, ou seja, o módulo de |T menos Ta| é igual a “e” elevado a (-kt mais c). E claro, isso vai ser igual a “e” elevado a (-kt) que multiplica “e” elevado a (c). Ou seja, eu apliquei apenas uma propriedade de potência aqui. E como “e” elevado a (c) é uma constante, eu posso chamar isso aqui de c₁, isso aqui de c₁, aqui de c₁. Com isso, toda essa parte vai ser uma única constante c, ou seja, vai ser a mesma coisa que c que multiplica “e” elevado a (-kt). Aqui já estamos achando algo parecido com o que fizemos quando modelamos população. Então, ficamos com módulo de |T menos Ta| igual a c que multiplica “e” elevado a (-kt). Olhando para a temperatura da nossa xícara e a temperatura ambiente, vamos pensar no cenário onde a temperatura desse objeto é o maior ou igual à temperatura do ambiente. Esse é o cenário, digamos, onde a temperatura do objeto é mais quente. Quando isso acontece, o valor dessa diferença é positiva ou é igual a zero, e por isso não precisamos desse módulo. E então, sem o módulo, eu posso somar "Ta" a ambos os membros da equação e escrever a temperatura como uma função do tempo, ficando com a temperatura em função do tempo, que é igual a uma constante c que multiplica “e” elevado a (-kt) mais Ta. Então essa aqui é a solução geral no caso em que a temperatura do objeto é maior ou igual à temperatura ambiente. No nosso caso, a xícara seria mais quente do que a temperatura ambiente. Agora, no caso em que a temperatura do objeto é menor do que a temperatura do ambiente, isso aqui vai ser negativo, e como módulo é sempre um valor positivo, nós temos que colocar um “menos” antes do módulo para garantir que essa diferença seja positiva. Assim, vamos ficar como Ta menos T, já que multiplicamos a diferença por -1, que é igual a c que multiplica “e” elevado a (-kt). Somando T a ambos os membros dessa equação, vamos ficar com T como uma função do tempo. Eu já posso multiplicar ambos os membros da equação por -1 também, ficando com a temperatura em função do tempo, que é igual à temperatura ambiente menos c que multiplica “e” elevado a (-kt). Só para não criar uma confusão aqui: eu subtraí ambos os membros da equação por -Ta, mas como esse T é negativo, eu já multipliquei ambos os membros dela por -1, invertendo o sinal dessas duas coisas. Esse é o caso em que a temperatura ambiente é mais fria. Então essas duas são as soluções gerais dessa equação diferencial que vimos baseada na Lei de Resfriamento de Newton. Eu espero que essa aula tenha ajudado e até a próxima, pessoal!